Question

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，点E为底AD上的一点，将△CDE沿CE折叠，点D落在梯形对角线AC上的点F处，EF的延长线交BC于点G，连接DF．
（1）求证：△CDF∽△GCE；
（2）设AD=a，CD=b，BC=c，当四边形ABGE为平行四边形时，求a，b，c应满足的关系．

Answer 1

分析：（1）通过证明∠EGC=∠FCD，∠CEG=∠DFC，可证明△CDF∽△GCE；
（2）证△ADC∽△CAB，可得出AC²=AD×BC，在Rt△ACD中表示出AC²，即可得出a，b，c应满足的关系．

解答：证明：（1）∵AD∥BC，
∴∠EGC=∠AEG，
∵∠AEG+∠DEF=180°，∠FCD+∠DEF=180°，
∴∠EGC=∠AEG=∠FCD，
由折叠的性质可得DF⊥CE，
∴∠CEG+∠EFD=90°，
又∵∠CFD+∠EFD=90°，
∴∠CEG=∠DFC，
在△CDF和△GCE中，
∵

∠FCD=∠EGC ∠DFC=∠CEG

，
∴△CDF∽△GCE．

（2）a²+b²=ac．
证明：∵△CDF∽△GCE
∴∠DCF=∠CGE，
∵四边形ABGE为平行四边形，
∴AB∥EG，
∴∠CGE=∠ABC=∠DCA，
在ADC和△CAB中，
∵

∠DCA=∠ABC ∠DAC=∠ACB

，
∴△ADC∽△CAB，
∴

AC

AD

=

BC

AC

，即AC²=AD×BC=ac，
在Rt△ACD中，AC²=AD²+DC²=a²+b²，
故a，b，c应满足的关系为：a²+b²=ac．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质、折叠的性质及平行线的性质，解答本题的关键是相似三角形的寻找，注意掌握相似三角形的判定定理，最常用的就是两角法．