Question

【题目】如图，△ABC 中，点 O 是边 AC 上一个动点，过 O 作直线 MN∥BC，设 MN 交∠ACB 的平分线于点 E，交∠ACB 的外角平分线于点 F．

（1）求证：OE＝OF；

（2）当点 O 在边 AC 上运动到什么位置时，四边形 AECF 是矩形？并说明理由．

（3）若 AC 边上存在点 O，使四边形 AECF 是正方形，猜想△ABC 的形状并证明你的结论．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）当点 O 在边 AC 上运动到 AC 中点时，四边形 AECF 是矩形．见解析；（3）△ABC 是直角三角形，理由见解析.

【解析】

(1)根据平行线的性质以及角平分线的性质得出∠1=∠2,∠3=∠4,进而得出答案;

（2）根据AO=CO,EO=FO可得四边形AECF平行四边形,再证明∠ECF=90°利用矩形的判定得出即可

(3)利用正方形的性质得出AC⊥EN,再利用平行线的性质得出∠BCA=90°,即可得出答案

证明：（1）∵MN 交∠ACB 的平分线于点 E，交∠ACB 的外角平分线于点 F，

∴∠2＝∠5，∠4＝∠6，

∵MN∥BC，

∴∠1＝∠5，∠3＝∠6，

∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，

∴EO＝CO，FO＝CO，

∴OE＝OF；

（2）当点 O 在边 AC 上运动到 AC 中点时，四边形 AECF 是矩形．

证明：当 O 为 AC 的中点时，AO＝CO，

∵EO＝FO，

∴四边形 AECF 是平行四边形，

∵CE是∠ACB的平分线，CF是∠ACD的平分线，

∴∠ECF＝ （∠ACB+∠ACD）=90°，

∴平行四边形 AECF 是矩形．

（3）△ABC 是直角三角形，

理由：∵四边形 AECF 是正方形，

∴AC⊥EN，故∠AOM＝90°，

∵MN∥BC，

∴∠BCA＝∠AOM，

∴∠BCA＝90°，

∴△ABC 是直角三角形．