题目内容
【题目】阅读并解决问题：有趣的勾股数组
定义：一般地，若三角形三边长
，
，
都是正整数，且满足
，那么数组
称为勾股数组．
关于勾股数组的研究我国历史上有过非常辉煌的成就，根据我国古代数学书《周髀算经》记载，在约公元前1100年，人们就已经知道“勾广三，股修四，径隅五”（古人把较短的直角边称为勾，较长直角边称为股，而斜边则成称为弦），即知道了勾股数组
，后来人们发现并证明了勾股定理．
公元263年魏朝刘徽注《九章算术》，文中除提到勾股数组以外，还提到
，
，
，
等勾股数组．
设
，
是两个正整数，且
，三角形三边长，，都是正整数．
下表中的，，可以组成一些有规律的勾股数组：
|
|
|
|
|
2 | 1 | 3 | 4 | 5 |
3 | 2 | 5 | 12 | 13 |
4 | 1 | 15 | 8 | 17 |
4 | 3 | 7 | 24 | 25 |
5 | 2 | 21 | 20 | 29 |
5 | 4 | 9 | 40 | 41 |
6 | 1 | 35 | 12 | 37 |
6 | 5 | 11 | 60 | 61 |
7 | 2 | 45 | 28 | 53 |
7 | 4 | 33 | 56 | 65 |
7 | 6 | 13 | 84 | 85 |
请你仔细观察这个表格，解答下列问题：
（1）表中和，的等量关系式是________；
（2）表中的勾股数组用只含，的代数式表示为________；
（3）小明通过研究表中数据发现：若勾股数组中，弦与股的差为1，则勾股数的形式可表述为
（
，
为正整数），请你用含的代数式表示．
【答案】（1）
；（2）
；（3）
．
【解析】
（1）根据表中的数据可发现a正好为m和n的平方差；
（2）仿照（1），再找出b、c与m、n的关系即可得到答案；
（3）利用勾股定理列式整理即可得出答案.
解：（1）
，
，
，
，
……，
；
（2）据表中的数据规律可知：
，
，
，
所以表中的勾股数组用只含
，
的代数式表示为
；
（3）根据题意，得
，
解得．
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租金（单位：元/台时） | 挖掘土石方量（单位：m3/台时） | |
甲型挖掘机 | 100 | 60 |
乙型挖掘机 | 120 | 80 |
（1）若租用甲、乙两种型号的挖掘机共8台，恰好完成每小时的挖掘量，则甲、乙两种型号的挖掘机各需多少台？
（2）如果每小时支付的租金不超过850元，又恰好完成每小时的挖掘量，那么共有哪几种不同的租用方案？