Question

如图，在正方形ABCD中，E为BC上一点，且BE=2CE；F为AB上一动点，BF=nAF，连接DF，AE交于点P．

（1）若n=1，则=　　　　　　，=　　　　　　；

（2）若n=2，求证：8AP=3PE；

（3）当n=　　　　　　时，AE⊥DF（直接填出结果，不要求证明）．

　

　

Answer 1

 解：（1）延长AE交DC的延长线于H，

∵四边形ABCD为正方形，

∴AB∥DH，

∴∠H=∠BAH，∠B=∠BCH，

∴△BEA∽△CEH，

∴，

设EC=m，则AB=BC=CD=3m，BE=2m，CH=1.5m，

同理：△AFP∽△DPH，

∴FP：PD=AP：PH=AF：DH=1.5m：4.5m=1：3，

设AP=n，PH=3n，AH=4n，AE：EH=2：1，EH=n，

∴PE=n，

∴AP：PE=3：5，

∴=，=；

（2）证明：如图，延长AE交DC的延长线于H，

∵四边形ABCD为正方形，

∴AB∥DH，

∴∠H=∠BAH，∠B=∠BCH，

∴△BEA∽△CEH，

∴，

设EC=2a，BE=4a，则AB=BC=CD=6a，CH=3a，AF=2a，

同理：△AFP∽△HDP，，

设AP=2k，PH=9k，

∴AH=11k，

∴EH=，

∴PE=，

∴=，

∴8AP=3PE；

（3）当AE⊥DF时，tan∠BAE=PF：AP=BE：AB=2：3，

∵△AFP∽△AFD，

∴FP：AP=AF：AD=2：3，

∴AF=AD=AB，BF=AB，

∴BF=AF，

∴n=．