Question

如图，已知△BAD和△BCE均为等腰直角三角形，∠BAD=∠BCE=90°，点M为DE的中点，过点E与AD平行的直线交射线AM于点N．

（1）当A，B，C三点在同一直线上时（如图1），求证：M为AN的中点；

（2）将图1中的△BCE绕点B旋转，当A，B，E三点在同一直线上时（如图2），求证：△ACN为等腰直角三角形；

（3）将图1中△BCE绕点B旋转到图3位置时, 当A，B，M,N在同一直线上时,

(2)中的结论是否仍成立?若成立,试证明之，若不成立，请说明理由．

 

Answer 1

（1）如图1，证△ADM≌△NEM,可得AM=MN．( 4分 )

（2）如图2，先证△ADM≌△NEM，∴AD=NE．∴AB=NE．( 4分 )

再证△ABC≌△NEC,∴AC=NC，∠ACB=∠NCE．∴∠ACN=∠BCE=90°．

∴△ACN为等腰直角三角形．

（3）△ACN仍为等腰直角三角形．( 4分 )

如图3，∵AD∥EN，∠DAB=90°，∴∠ENA=∠DAN=90°．

∵∠BCE=90°，∴∠CBN+∠CEN=360°﹣90°﹣90°=180°．

∵A、B、N三点在同一条直线上，∴∠ABC+∠CBN=180°．∴∠ABC=∠NEC．

∵△ADM≌△NEM（已证），∴AD=NE．

∵AD=AB，∴AB=NE．∴△ABC≌△NEC．∴AC=NC，∠ACB=∠NCE．

∴∠ACN=∠BCE=90°．∴△ACN为等腰直角三角形．( 4分 )