Question

如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOC的顶点A（-1，3），∠ACO=90°，点O为坐标原点．将Rt△AOC绕点O顺时针旋转90°，得到Rt△A′OC′．设直线AA′与x轴交于点M、与y轴交于点N，抛物线经过点C、M、N．解答下列问题：
（1）求直线AA′的解析式；
（2）求抛物线的解析式；
（3）在抛物线上是否存在这样的点P，使四边形PA′C′N成为直角梯形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）本题需先求出点A′的坐标，再把点A′和A的坐标代入直线的解析式即可求出结果．
（2）本题需先求出点M、N的坐标，再设出抛物线的解析式把点M、N、C的坐标代入即可求出答案．
（3）本题需先画出使四边形PA′C′N成为直角梯形时点P所在的位置，即可求出点P的坐标．

解答：解：（1）∵点A的坐标为（-1，3），
∴点A′的坐标为（3，1），
设直线AA′的解析式为y=kx+b（k≠0）
则

3=-k+b 1=3k+b

解得

k=- 1 2 b= 5 2

所以直线AA′的解析式为y=-

1

2

x+

5

2

；

（2）∵直线AA′的解析式为y=-

1

2

x+

5

2

∴点M、N的坐标为（5，0）（0，

5

2

）
设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c（a≠0）
则

0=25a+5b+c 5 2 = c 0=a-b+c

解得

a=- 1 2 b=2 c= 5 2

所以抛物线的解析式为y=-

1

2

x2+2x+

5

2

．

（3）当点P在P₁点处时四边形PA′C′N成为直角梯形
∵P₁点的纵坐标是

5

2

，
∴P₁点的横坐标是4，
∴P₁点的坐标是（4，

5

2

）
当点P在P₂点处时四边形PA′C′N成为直角梯形
∵P₂点的横坐标是3，
∴P₂点的纵坐标是4，
∴P₂点的坐标是（3，4）
∴P点的坐标为（4，

5

2

）或（3，4）．

点评：本题主要考查了二次函数的综合应用，在解题时要把二次函数的性质和解析式求法与一次函数的性质及解析式求法相结合是本题的关键．