题目内容
15．已知：Rt△ABC中，BC=AC，AB=8$\sqrt{2}$，射线CD平分∠ACB，交AB于点D，Rt△EFG中，∠GEF=90°，EF=EG，FG=2$\sqrt{2}$，将△ABC与△EFG如图（1）摆放，使点C与点E重合，B、C、E、F共线，现将△EFG沿着射线CD以每秒$\sqrt{2}$个单位的速度向上平移，设平移时间为t秒．（1）求BC，CD的长度；
（2）在平移过程中，当△EFG与△ACD有重叠部分时，设重叠部分的面积为S，请直接写出S与t的关系式及对应的自变量t的取值范围；
（3）如图（2），当点E与点D重合时，将△EFG绕点D旋转，记旋转中的△EFG为△EF1G1，在旋转过程中G1F1所在直线与边AB交于点M，与边AC交于点N，当△AMN为以MN为腰的等腰三角形时，求AM的长．
分析 （1）根据等腰直角三角形的性质得：∠A=∠B=45°，利用45°的正弦求出直角边BC的长，再根据等腰三角形三线合一的性质知道：AD是中线，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出CD的长；
（2）先计算特殊位置时对应的t值，当点F与点G重合时，如图2，t=$\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$=2；当点F平移到AB上时，如图8，t=$\frac{CD+DE}{\sqrt{2}}$=$\frac{4\sqrt{2}+\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$=5，分四种情况讨论：①当0＜t＜2时，如图3，重合部分的面积S为四边形PDEG的面积，②当2≤t≤3时，重合部分的面积S为△GEF的面积，③当3＜t≤4，如图5，重合部分的面积S为四边形PFEQ的面积，④当4＜t≤5时，如图7，重合部分的面积S为三角形PFQ的面积，分别计算即可；
（3）分别旋转45°和360°时，△AMN是以MN为腰的等腰三角形，分别求出AM的长即可．
解答 
解：（1）在Rt△ABC中，
∵BC=AC，
∴∠A=∠B=45°，
∴sin45°=$\frac{BC}{AB}$，
∴BC=AB•sin45°=8$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=8，
∵CD平分∠ACB，
∴点D是AB的中点，
∴CD=$\frac{1}{2}$AB=4$\sqrt{2}$；
（2）当点F与点G重合时，即重合部分的面积为△GEF的面积，如图2，
∵△ACB和△GEF都是等腰直角三角形，
∴∠FGC=∠ACD=45°，
∴FG∥CD，
Rt△EFG中，
∵∠GEF=90°，EF=EG，FG=2$\sqrt{2}$，
∴EG=FE=2，
由平移得：EF∥BC，
△CEF是等腰直角三角形，
∴CE=2$\sqrt{2}$，
所以这时的时间t=$\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$=2，
①当0＜t＜2时，如图3，重合部分的面积S为四边形PDEG的面积，
∵PG∥CE，PC∥EG，
∴四边形PCEG是平行四边形，
又∵EF⊥AC，
由题意得：EC=$\sqrt{2}$t，则ED=CD=t，
∴S=S?PCEG-S△CDE=EG•ED-$\frac{1}{2}$ED•CD=2t-$\frac{1}{2}$t2=-$\frac{1}{2}{t}^{2}$+2t，
当点G在AB上时，如图4，
∵EG∥AC，
∴∠EGD=∠A=45°，
∵∠ADC=90°，
∴△GDE是等腰直角三角形，
∵EG=2，
∴DE=$\sqrt{2}$，
∴CE=CD-DE=4$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$=3$\sqrt{2}$，
∴t=$\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$=3，
②当2≤t≤3时，重合部分的面积S为△GEF的面积，
∴S=S△EGF=$\frac{1}{2}$GE•EF=$\frac{1}{2}$×2×2=2，
③当3＜t≤4，如图5，重合部分的面积S为四边形PFEQ的面积，
∵CE=$\sqrt{2}$t，
∴DE=4$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$t，
∵△QDE是等腰直角三角形，
∴EQ=$\sqrt{2}$DE=$\sqrt{2}$（4$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$t）=8-2t，
∴GQ=2-EQ=2-8+2t=2t-6，
同理△PQG是等腰直角三角形，
∴PG=PQ=$\frac{2t-6}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$（t-3），
∴S=S四边形PFEQ=S△GEF-S△PQG=2-$\frac{1}{2}$[$\sqrt{2}$（t-3）]2=2-（t-3）2=-t2+6t-7；
④当4＜t≤5时，如图7，重合部分的面积S为三角形PFQ的面积，
当点F平移到AB上时，如图8，
∵△EFD是等腰直角三角形，EF=2
，
∴ED=$\sqrt{2}$，
∴t=$\frac{CD+DE}{\sqrt{2}}$=$\frac{4\sqrt{2}+\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$=5，
如图7，∵CE=$\sqrt{2}$t，
∴DE=$\sqrt{2}t-4\sqrt{2}$，
∴EQ=$\sqrt{2}$（$\sqrt{2}t-4\sqrt{2}$）=2t-8，
∴FQ=2-EQ=2-2t+8=10-2t，
∵△PFQ是等腰直角三角形，
∴PQ=PF=$\frac{FQ}{\sqrt{2}}$=$\frac{10-2t}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$（5-t），
∴S=S△PFQ=$\frac{1}{2}$PF•PQ=$\frac{1}{2}$[$\sqrt{2}$（5-t）]2=t2-10t+25；
综上所述，S与t的关系式为：$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}{t}^{2}+2t（0＜t＜2）}\\{2（2≤t≤3）}\\{-{t}^{2}+6t-7（3＜t≤4）}\\{{t}^{2}-10t+25（4＜t≤5）}\end{array}\right.$；
（3）分两种情况：
①当AN=MN时，如图9，点M和F1重合，
∴∠AMN=∠A=45°，
∴∠ANM=90°，
∵ME=2，AE=4$\sqrt{2}$
∴AM=4$\sqrt{2}$-2，
②当AM=MN时，如图10，
∴∠ANM=∠A=45°，
∴∠AMN=90°，
∴DM=$\frac{1}{2}$FG=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$，
∴AM=AD-DM=4$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$=3$\sqrt{2}$，
综上所述，当△AMN为以MN为腰的等腰三角形时，AM的长为4$\sqrt{2}$-2或3$\sqrt{2}$．
点评 本题是动点运动和几何旋转的综合题，考查了等腰直角三角形的性质和判定，关于动点运动要弄清几个问题：①几个动点，②运动的路线，③运动的时间和终止时间，④动点的速度，⑤会根据时间和速度表示运动的路程；在计算重合部分面积时，要先计算特殊位置时的t的值，再根据这些值将重合的图形分类讨论．
全能测控期末小状元系列答案
如图，在⊙O中，AB为直径，C为⊙O上一点，∠A=40°，则∠B=50°．| A． | b是a、c的比例中项，且a：b=7：3，则b：c=7：3 | |
| B． | 正三角形、菱形、矩形中，对称轴最多的是菱形 | |
| C． | 如果点C是线段的黄金分割点，那么AC=0.618AB | |
| D． | 相似图形一定是位似图形 |