题目内容
如图①，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=4，OC=2．点P从点O出发，沿x轴以每秒1个单位长度的速度向点A匀速运动，当点P到达点A时停止运动，设点P运动的时间是t秒．将线段CP的中点绕点P按顺时针方向旋转90°得点D，点D随点P的运动而运动，连接DP、DA．（Ⅰ）填空：CP与PD的数量关系是______，CP与PD的位置关系是______；
（Ⅱ）用含t的代数式表示点P的坐标；
（Ⅲ）在点P从O向A运动的过程中，△DPA能否成为直角三角形？若能，求出t的值，若不能，请说明理由；
（Ⅳ）直接写出随着点P的运动，点D运动路线的长．
【答案】分析：（1）根据中点的定义可得CP与PD的数量关系，根据旋转的度数可得CP与PD的位置关系；
（2）设出P点坐标，再求出CP的中点坐标，根据相似的性质即可求出D点坐标；
（3）先判断出可能为直角的角，再根据勾股定理求解；
（4）根据点D的运动路线与OB平行且相等解答即可．
解答：解：（1）CP与PD的数量关系是CP=2PD，CP与PD的位置关系是CP⊥PD．
故答案为：CP=2PD，CP⊥PD；
（2）∵点P从点O出发，沿x轴以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，
∴OP=t，而OC=2，
∴P（t，0），
设CP的中点为F，
则F点的坐标为（
，1），
∴将线段CP的中点F绕点P按顺时针方向旋转90°得点D，其坐标为（t+1，
）；
（2）∵D点坐标为（t+1，
，），OA=4，
∴S△DPA=
AP×
=
（4-t）×
=
（4t-t2），
∴当t=2时，S最大=1；
（3）能够成直角三角形．
①当∠PDA=90°时，PC∥AD，
由勾股定理得，PD2+AD2=AP2，
即（
）2+1+（4-t-1）2+（
，）2=（4-t）2，
解得，t=2或t=-6（舍去）．
∴t=2秒．
②当∠PAD=90°时，此时点D在AB上，
可知，△COP∽△PAD，
∴
=
，
∴
=
，
PA=1，
即t+1=4，t=3秒．
综上，可知当t为2秒或3秒时，△DPA能成为直角三角形．
（4）∵根据点D的运动路线与OB平行且相等，OB=2
，
∴点D运动路线的长为2
．
点评：此题比较复杂，是动点问题在实际生活中的运用，考查了二次函数、直角三角形的相关性质，具有一定的综合性．
（2）设出P点坐标，再求出CP的中点坐标，根据相似的性质即可求出D点坐标；
（3）先判断出可能为直角的角，再根据勾股定理求解；
（4）根据点D的运动路线与OB平行且相等解答即可．
解答：解：（1）CP与PD的数量关系是CP=2PD，CP与PD的位置关系是CP⊥PD．
故答案为：CP=2PD，CP⊥PD；
（2）∵点P从点O出发，沿x轴以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，
∴OP=t，而OC=2，
∴P（t，0），
设CP的中点为F，
则F点的坐标为（
，1），∴将线段CP的中点F绕点P按顺时针方向旋转90°得点D，其坐标为（t+1，
）；（2）∵D点坐标为（t+1，
，），OA=4，∴S△DPA=
AP×=（4-t）×=（4t-t2），∴当t=2时，S最大=1；
（3）能够成直角三角形．
①当∠PDA=90°时，PC∥AD，
由勾股定理得，PD2+AD2=AP2，
即（
）2+1+（4-t-1）2+（，）2=（4-t）2，解得，t=2或t=-6（舍去）．
∴t=2秒．
②当∠PAD=90°时，此时点D在AB上，
可知，△COP∽△PAD，
∴
=，∴
=，PA=1，
即t+1=4，t=3秒．
综上，可知当t为2秒或3秒时，△DPA能成为直角三角形．
（4）∵根据点D的运动路线与OB平行且相等，OB=2
，∴点D运动路线的长为2
．点评：此题比较复杂，是动点问题在实际生活中的运用，考查了二次函数、直角三角形的相关性质，具有一定的综合性．
练习册系列答案
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23、在数学上，为了确定平面上点的位置，我们常用下面的方法：如图甲，在平面内画两条互相垂直，并且有公共原点O的数轴，通常一条画成水平，叫x轴，另一条画成铅垂，叫y轴，这样，我们就说在平面上建立了一个平面直角坐标系，这是由法国数学家和哲学家笛卡尔创立的，这样我们就能确定平面上点的位置，例如，要确定点M的位置，只要作MP⊥x轴，MP⊥y轴，设垂足N，P在各自数轴上所表示的数分别为x，y，则x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，有序数对（x，y）叫做M点的坐标，如图甲，点M的坐标记作（2，3），（1）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图乙，请把△ABC向右平移3个单位，在平面直角坐标系中画出平移后的△A′B′C′；
在平面直角坐标系中，将一块腰长为
为旋转中心时，点
绕着点
旋转180°得到
点，点
再绕着点
点，这时点
与点
为旋转中心时，点
点，点
点，点
点,小明发现P、
两点关于点
中心对称.
、
、
为旋转中心时，点
绕着点
旋转180°得到
点；点
旋转180°得到
点；点
旋转180°得到
点；点
旋转180°得到点
. 继续如此操作若干次得到点
，则点
的坐为．
，有序数对（x，y）叫做M点的坐标，如图甲，点M的坐标记作（2，3），