Question

附加题阅读、理解和探索
（1）观察下列各式：①

1

1×2

=1-

1

2

；②

1

2×3

=

1

2

-

1

3

；③

1

3×4

=

1

3

-

1

4

；…用你发现的规律写出：第④个式子是（

 

），第n个式子是（

 

）；
（2）利用（1）中的规律，计算：

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

9×10

；
（3）应用以上规律化简：

1

n(n+1)

+

1

(n+1)(n+2)

+

1

(n+2)(n+3)

+…+

1

(n+2008)(n+2009)

；
（4）观察按规律排列一组数：

1

3

，

1

15

，

1

35

，…，猜想第n个数是什么（请用含n的式子表达）把它填入求这组数的前n项和：

1

3

+

1

15

+

1

35

+…+（

 

）中的括号内，并把这个和式化简．

Answer 1

分析：根据题中所给的式子分析可得出结果．注意分母之间的关系．即

1

n×(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

解答：解：根据以上分析故（1）第④个式子是

1

4×5

=

1

4

-

1

5

，第n个式子是

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

．
（2）解：

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

9×10

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

9

-

1

10

=1-

1

10

=

9

10

（3）解：原式=

1

n

-

1

n+1

+

1

n+1

-

1

n+2

+…+

1

n+2008

-

1

n+2009

=

1

n

-

1

n+2009

=

2009

n(n+2009)

（4）把第n项填入括号：

1

3

+

1

15

+

1

35

+…+（

1

(2n-1)(2n+1)

）可得原式=

1

2

(1-

1

3

)+

1

2

(

1

3

-

1

5

)+

1

2

(

1

5

-

1

7

)+

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)

=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+

1

5

-

1

7

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

)
=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

1

2

×

2n

2n+1

=

n

2n+1

点评：主要考查了学生的分析、总结、归纳能力，规律型的习题一般是从所给的数据和运算方法进行分析，从特殊值的规律上总结出一般性的规律．