Question

如图，⊙O的半径为，BD是⊙O的切线，D为切点，过圆上一点C作BD的垂线，垂足为B，BC=3，点A是优弧CD的中点，则sin∠A的值是

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

C
分析：连接OC、OD，过C做CE⊥OD于点E，得出四边形BCED为矩形，求出OE，求出cos∠COE==，得出cosA=，根据sin²A+cos²A=1求出即可．
解答：
连接OC、OD，过C作CE⊥OD于E，
∵BD切⊙O于D，
∴BD⊥OD，
∵BC⊥BD，
∴∠B=∠BDE=∠CED=90°，
∴四边形CEDB是矩形，
∴BC=DE=3，
∵OD=，
∴OE=OD-DE=-3=，
∴cos∠COE===，
∵∠COD为弧CD对的圆心角，∠A为弧CD对的圆周角，
∴∠COD=2∠A，
∴cosA=，
∵sin²A+cos²A=1，
∴sinA=，
故选C．
点评：本题考查了矩形的性质和判定，切线的性质，锐角三角函数的定义，圆周角定理等知识点的应用，关键是求出cos∠COE的值和得出∠COD=2∠A．