Question

如图：长方形纸片ABCD放置在平面直角坐标系中，A与原点O 重合．B、D分别在x轴和y轴上，AB=8，AD=6．

（1）直接写出C点坐标；

（2）如图①折叠△CEB使B落在线段AC的B处，折痕为CE，求E点坐标；

（3）如图②点P在线段DC上，若△PAB为等腰三角形，试求满足条件的所有P点坐标．

Answer 1

【考点】四边形综合题．

【分析】（1）根据四边形ABCD是矩形，于是得到CD=AB=8，BC=AD=6，∠ADC=∠CBA=90°，即可求得C（8，6）；

（2）在Rt△ABC中，根据勾股定理得到AC==10，根据折叠的性质得到CB₁=6，B₁E=BE，∠CB₁E=∠EBC=90°，于是得到AB₁=4，∠AB₁E=90°，根据勾股定理列方程即可得到结论；

（3）如图②，若△PAB为等腰三角形：①当PA=PB，即点P在AB的垂直平分线上，于是得到P（4，6）；②当AB=AP=8，根据勾股定理得到DP===2，求得P（2，6）；③当BA=BP=8，根据勾股定理得到即CP²+6²=8²求得P（8﹣2，0）．

【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，

∴CD=AB=8，BC=AD=6，∠ADC=∠CBA=90°，

∴C（8，6）；

（2）在Rt△ABC中，AC==10，

∵折叠△CEB使B落在线段AC的B处，

∴△BCE≌△B₁CE，

∴CB₁=6，B₁E=BE，∠CB₁E=∠EBC=90°，

∴AB₁=4，∠AB₁E=90°，

∴AE²=AB₁²+B₁E²，

即AE²=4²+（8﹣AE）²，

解得：AE=5，∴E（5，0）；

（3）如图②，若△PAB为等腰三角形，

①当PA=PB，即点P在AB的垂直平分线上，

∴P（4，6）；

②当AB=AP=8，

∴DP===2，

∴P（2，6）；

③当BA=BP=8，CP²+BC²=BP²，即CP²+6²=8²，

∴PC=2，

∴DP=8﹣2，

∴P（8﹣2，0）；

综上所述：若△PAB为等腰三角形，P点坐标为：（8﹣2，0），（4，0）（2，0）．