Question

已知：如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，∠B=30°，∠C=45°，AC=4．求BC的长和tan∠ADC的值．

Answer 1

分析：首先作AE⊥BC，构建直角三角形，然后根据直角三角形特殊角的三角函数，即可推出EC和AE的长度，再根据∠B的正切值推出BE的长度，既而推出BC和C、BD的长度，便知DE=DC-EC=

1

2

BC-EC=

6

-

2

，根据正切的定义，即可推出tan∠ADC的值．

解答：解：过点A作AE⊥BC于点E，
∴∠AEC=∠AEB=90°，
在Rt△AEC中，
∵AC=4，
∴cos∠C=

EC

AC

，即cos45°=

EC

4

，
∴EC=4×cos45°=2

2

，
又∵∠C=45°，
∴AE=EC=2

2

，
在Rt△AEB中，
tan∠B=

AE

BE

，即tan30°=

2 2

BE

，
∴BE=

2 2

3 3

=2

6

，
∴BC=BE+EC=2

6

+2

2

，
∴DE=DC-EC=

1

2

BC-EC=

1

2

（2

6

+2

2

）-2

2

=

6

-

2

，
∴tan∠ADC=

AE

DE

=

2 2

6 - 2

=

3

+1．

点评：本题主要考查解直角三角形、特殊角的三角函数值，关键在于根据题意作出辅助线构建直角三角形，推出AE，DE的长度．