Question

【题目】给定一个十进制下的自然数，对于每个数位上的数，求出它除以的余数，再把每一个余数按照原来的数位顺序排列，得到一个新的数，定义这个新数为原数的“模二数”，记为.如.对于“模二数”的加法规定如下:将两数末位对齐，从右往左依次将相应数位.上的数分别相加，规定:与相加得;与相加得与相加得，并向左边一位进.如的“模二数”相加的运算过程如下图所示.

根据以上材料，解决下列问题:

(1)的值为______ ，的值为_

(2)如果两个自然数的和的“模二数”与它们的“模二数”的和相等，则称这两个数“模二相加不变”.如，因为，所以，即与满足“模二相加不变”.

①判断这三个数中哪些与“模二相加不变”，并说明理由；

②与“模二相加不变”的两位数有______个

Answer 1

【答案】（1）1011，1101；（2）①12，65，97，见解析，②38

【解析】

(1) 根据“模二数”的定义计算即可；

(2) ①根据“模二数”和模二相加不变”的定义，分别计算和12+23，65+23,97+23的值，即可得出答案

②设两位数的十位数字为a，个位数字为b，根据a、b的奇偶性和“模二数”和模二相加不变”的定义进行讨论，从而得出与“模二相加不变”的两位数的个数

解: (1) ，

故答案为：

①，

，

与满足“模二相加不变”.

，，

，

与不满足“模二相加不变”.

，

，

，

与满足“模二相加不变”

②当此两位数小于77时，设两位数的十位数字为a，个位数字为b，；

当a为偶数，b为偶数时，

∴

∴与满足“模二相加不变”有12个（28、48、68不符合）

当a为偶数，b为奇数时，

∴

∴与不满足“模二相加不变”.但27、47、67、29、49、69符合共6个

当a为奇数，b为奇数时，

∴

∴与不满足“模二相加不变”.但17、37、57、19、39、59也不符合

当a为奇数，b为偶数时，

∴

∴与满足“模二相加不变”有16个，（18、38、58不符合）

当此两位数大于等于77时，符合共有4个

综上所述共有12+6+16+4=38

故答案为：38