Question

【题目】如图l，在中，，，于点，是线段上的点（与，不重合），，，连结，，，．

（1）求证：；

（2）如图2，若将绕点旋转，使边在的内部，延长交于点，交于点．

①求证：；

②当为等腰直角三角形，且时，请求出的值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②

【解析】

（1）通过证明△EAB≌△FAB，即可得到BE=BF；
（2）①首先证明△AEB≌△AFC，由相似三角形的性质可得：∠EBA=∠FCA，进而可证明△AGC∽△KGB；

②根据题意，可分类讨论求值即可．

（1）∵AB=AC，AO⊥BC，
∴∠OAC=∠OAB=45°，
∴∠EAB=∠EAF-∠BAF=45°，
∴∠EAB=∠BAF=45°，
在△EAB和△FAB中，

，

∴△EAB≌△FAB（SAS），
∴BE=BF；
（2）①∵∠BAC=90°，∠EAF=90°，
∴∠EAB+∠BAF=∠BAF+∠FAC=90°，
∴∠EAB=∠FAC，
在△AEB和△AFC中，

，

∴△AEB≌△AFC（SAS），
∴∠EBA=∠FCA，
又∵∠KGB=∠AGC，
∴△AGC∽△KGB；
②当∠EBF=90°时，

∵EF=BF，
∴∠FEB=∠EBF=90°（不符合题意），

当∠BEF=90°，且EF=BF时，

∴∠FEB=∠EBF=90°（不符合题意），

当∠EFB=90°，且EF=BF时，如下图，

∴∠FEB=∠FBE=45°，

∵，，

∴∠AFE=∠AEF=45°，

∴∠AEB=∠AEF+∠FEB=45°+ 45°=90°，

不妨设，则BF= EF=，BE=，

在Rt△ABE中，∠AEB =90°，，BE，

∴，

∴，

综上，．