Question

如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，点E、F、G分别在边AB、BC、CD上，四边形AEFG是正方形，如果∠B=60°，AD=1，那么BC的长是

 

．

Answer 1

考点：等腰梯形的性质,等边三角形的判定与性质,正方形的性质

专题：

分析：过点D作DN⊥AG于点N，利用等腰梯形的性质以及正方形的性质得出AN以及AG的长，再利用锐角三角函数关系得出BF的长，再利用等边三角的判定得出FC的长，即可得出答案．

解答：解：过点D作DN⊥AG于点N，
∵在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=60°，AD=1，
∴∠C=60°，∠BAD=120°，∠ADC=120°，
∵四边形AEFG是正方形，
∴∠BAG=90°，
∴∠DAG=30°，
∴∠DGA=30°，
∵DN⊥AG，∴AN=NG，
∴AD=DG=1，DN=

1

2

AD=

1

2

，
∴AN=

3

2

，
∴AG=AE=EF=FG=

3

，
∴BF=

EF

sin60°

=

3

3 2

=2，
∵∠FGA=90°，∠AGD=30°，
∴∠FGC=60°，
又∵∠C=60°，
∴△FGC是等边三角形，
∴FC=FG=

3

，
∴BC=BF+FC=2+

3

．
故答案为：2+

3

．

点评：此题主要考查了等腰梯形的性质以及正方形的性质、勾股定理以及锐角三角函数关系等知识，得出EF的长是解题关键．