Question

如图，一个等边三角形的边长与和它的一边相切的圆的周长相等，当这个圆按箭头方向从某一位置沿等边三角形的三边做无滑动旋转，直至回到原出发位置时，问该圆转过的圈数是

[　　]

A．

1

B．

2

C．

3

D．

4

Answer 1

答案：D
解析：

分析：一个三角形有三条边和三个顶点，所以可分两部分考虑：一部分考虑在边上的滚动；另一部分考虑在顶点处的转动． 　　①圆在边上的旋转：圆在一条边上做无滑动旋转，用三角形的边长除以圆的周长，就是圆在一边所转过的圈数．因为三角形的边长等于圆的周长，所以经过一条边，圆刚好转了1圈，三条边就是3圈． 　　②圆在顶点处的旋转：如图在点C处的情形，当圆与BC边相切于点C时，CE是过圆心的直线，CE⊥BC，∠BCE＝90°，∠ACB＝60°，所以当圆转到与AC相切于点C时，CF是过圆心的直线，CF⊥AC，∠ACF＝90°；当圆沿点C从CE旋转到CF时，切点是C点，∠ECF就是圆转过的角度，∠ECF＝360°－90°－60°＝120°，即圆经过一个顶点转120°，经过三个顶点共转过120°×3＝360°，为1圈． 　　综合以上两个方面，圆共转过4圈． 　　解：选D． 　　点评：当正三角形改为正方形、正五边形、正六边形、正n(n≥3)边形时又会怎样呢？此时圆经过正n(n≥3)边形所有拐角时，自身累计转过一圈，这是由n(n≥3)边形的外角和为360°决定的．