题目内容
如图，抛物线y=（x+1）2+k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，-3）（1）求抛物线的对称轴及k的值；
（2）抛物线的对称轴上存在一点P，使得PA+PC的值最小，求此时点P的坐标；
（3）点M是抛物线上的一动点，且在第三象限．
①当M点运动到何处时，△AMB的面积最大？求出△AMB的最大面积及此时点M的坐标；
②当M点运动到何处时，四边形AMCB的面积最大？求出四边形AMCB的最大面积及此时点的坐标．
【答案】分析：（1）由抛物线y=（x+1）2+k与y轴交于点C（0，-3），即可将点C的坐标代入函数解析式，解方程即可求得k的值，由抛物线y=（x+1）2+k即可求得抛物线的对称轴为：x=-1；
（2）连接AC交抛物线的对称轴于点P，则PA+PC的值最小，求得A与C的坐标，设直线AC的解析式为y=kx+b，利用待定系数法即可求得直线AC的解析式，则可求得此时点P的坐标；
（3）①设点M的坐标为：（x，（x+1）2-4），即可得S△AMB=
×4×|（x+1）2-4|，由二次函数的最值问题，即可求得△AMB的最大面积及此时点M的坐标；
②设点M的坐标为：（x，（x+1）2-4），然后过点M作MD⊥AB于D，由S四边形ABCM=S△OBC+S△ADM+S梯形OCMD，根据二次函数的最值问题的求解方法，即可求得四边形AMCB的最大面积及此时点M的坐标．
解答：解：（1）∵抛物线y=（x+1）2+k与y轴交于点C（0，-3），
∴-3=1+k，
∴k=-4，
∴抛物线的解析式为：y=（x+1）2-4，
∴抛物线的对称轴为：直线x=-1；
（2）存在．
连接AC交抛物线的对称轴于点P，则PA+PC的值最小，
当y=0时，（x+1）2-4=0，
解得：x=-3或x=1，
∵A在B的左侧，
∴A（-3，0），B（1，0），
设直线AC的解析式为：y=kx+b，
∴
，
解得：
，
∴直线AC的解析式为：y=-x-3，
当x=-1时，y=-（-1）-3=-2，
∴点P的坐标为：（-1，-2）；
（3）点M是抛物线上的一动点，且在第三象限，
∴-3＜x＜0；
①设点M的坐标为：（x，（x+1）2-4），
∵AB=4，
∴S△AMB=
×4×|（x+1）2-4|=2|（x+1）2-4|，
∵点M在第三象限，
∴S△AMB=8-2（x+1）2，
∴当x=-1时，
即点M的坐标为（-1，-4）时，△AMB的面积最大，最大值为8；
②设点M的坐标为：（x，（x+1）2-4），
过点M作MD⊥AB于D，
S四边形ABCM=S△OBC+S△ADM+S梯形OCMD=
×3×1+
×（3+x）×[4-（x+1）2]+
×（-x）×[3+4-（x+1）2]
=-
（x2+3x-4）=-
（x+
）2+
，
∴当x=-
时，y=（-
+1）2-4=-
，
即当点M的坐标为（-
，-
）时，四边形AMCB的面积最大，最大值为
．
点评：此题考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数的最值问题，三角形与四边形的面积问题以及线段和最短问题等知识．此题综合性较强，难度较大，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．
（2）连接AC交抛物线的对称轴于点P，则PA+PC的值最小，求得A与C的坐标，设直线AC的解析式为y=kx+b，利用待定系数法即可求得直线AC的解析式，则可求得此时点P的坐标；
（3）①设点M的坐标为：（x，（x+1）2-4），即可得S△AMB=
×4×|（x+1）2-4|，由二次函数的最值问题，即可求得△AMB的最大面积及此时点M的坐标；②设点M的坐标为：（x，（x+1）2-4），然后过点M作MD⊥AB于D，由S四边形ABCM=S△OBC+S△ADM+S梯形OCMD，根据二次函数的最值问题的求解方法，即可求得四边形AMCB的最大面积及此时点M的坐标．
解答：解：（1）∵抛物线y=（x+1）2+k与y轴交于点C（0，-3），
∴-3=1+k，
∴k=-4，
∴抛物线的解析式为：y=（x+1）2-4，
∴抛物线的对称轴为：直线x=-1；
（2）存在．
连接AC交抛物线的对称轴于点P，则PA+PC的值最小，
当y=0时，（x+1）2-4=0，
解得：x=-3或x=1，
∵A在B的左侧，
∴A（-3，0），B（1，0），
设直线AC的解析式为：y=kx+b，
∴
，解得：
，∴直线AC的解析式为：y=-x-3，
当x=-1时，y=-（-1）-3=-2，
∴点P的坐标为：（-1，-2）；
（3）点M是抛物线上的一动点，且在第三象限，
∴-3＜x＜0；
①设点M的坐标为：（x，（x+1）2-4），
∵AB=4，
∴S△AMB=
×4×|（x+1）2-4|=2|（x+1）2-4|，∵点M在第三象限，
∴S△AMB=8-2（x+1）2，
∴当x=-1时，
即点M的坐标为（-1，-4）时，△AMB的面积最大，最大值为8；
②设点M的坐标为：（x，（x+1）2-4），过点M作MD⊥AB于D，
S四边形ABCM=S△OBC+S△ADM+S梯形OCMD=
×3×1+×（3+x）×[4-（x+1）2]+×（-x）×[3+4-（x+1）2]=-
（x2+3x-4）=-（x+）2+，∴当x=-
时，y=（-+1）2-4=-，即当点M的坐标为（-
，-）时，四边形AMCB的面积最大，最大值为．点评：此题考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数的最值问题，三角形与四边形的面积问题以及线段和最短问题等知识．此题综合性较强，难度较大，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．
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