题目内容

如图，在直角坐标系xOy中有一梯形ABCO，顶点C在x正半轴上，A、B两点在第一象限；且AB∥CO，AO=BC=2，AB=3，OC=5．点P在x轴上，从点（-2，0）出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向正方向运动；同时，过点P作直线l，使直线l和x轴向正方向夹角为30°．设点P运动了t秒，直线l扫过梯形ABCO的面积为S_扫．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）当t=2秒时，求S_扫的值；
（3）求S_扫与t的函数关系式，并求出直线l扫过梯形ABCO面积的 $数学公式$ 时点P的坐标．

解：（1）（1， $\text{[math]}$ ），（4， $\text{[math]}$ ）．

（2） $\text{[math]}$ ．

（3）当0≤t＜2时，△AEF∽△AOD， $\text{[math]}$ ，
∴S_扫= $\text{[math]}$ t²；
当2≤t＜3时，S_扫=S_△AOD+S_□DOPF= $\text{[math]}$ （t-2）

∴S_扫= $\text{[math]}$ t- $\text{[math]}$ ；
当3≤t≤7时， $\text{[math]}$
S_扫=4 $\text{[math]}$ -S_△CPM=4 $\text{[math]}$ -2 $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$
∴S_扫=- $\text{[math]}$ t²+ $\text{[math]}$ t- $\text{[math]}$ ，
∵- $\text{[math]}$ t²+ $\text{[math]}$ t- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ×4 $\text{[math]}$ ，

∴t²-14t+41=0，
t₁=7-2 $\text{[math]}$ ，t₂=7+2 $\text{[math]}$ ＞7（舍）
∴P的坐标为（5-2 $\text{[math]}$ ，0）．
分析：（1）两底的差的一半就是A的横坐标；过A、B作x轴的垂线，在构建的直角三角形中根据OA的长及两底的差便可求出梯形的高即A点的纵坐标．得出A点坐标后向右平移3个单位就是B点的坐标．
（2）当t=2时，P、O两点重合，如果设直线l与AB的交点为D，那么AD=2，而AD边上的高就是A点的纵坐标，由此可求出△ADO的面积及直线l扫过的面积．
（3）本题要分三种情况进行讨论：
①当P在原点左侧，即当0≤t＜2时，重合部分是个三角形，如果设直线l与AO，AB分别交于E，F，可根据△AEF∽△AOD，用相似比求出其面积．即可得出S，t的函数关系式．
②当P在O点右侧（包括和O重合），而F点在B点左侧时，即当2≤t＜3时，扫过部分是个梯形，可根据梯形的面积计算方法即可得出直线l扫过部分的面积．也就能得出S，t的函数关系式．
③当P点在C点左侧（包括和C点重合），F点在B点右侧（包括和B点重合），即当3≤t≤7时，扫过部分是个五边形，可用梯形ABCO的面积减去△MPC的面积来得出S，t的函数关系式．
点评：本题考查了梯形的性质，相似三角形的判定和性质，二次函数的综合应用等知识点．主要考查了学生分类讨论和数形结合的数学思想方法．