题目内容
某海域一哨所A周围是半径为15海里的暗礁区，哨所值班人员发现一艘轮船在哨所正西方向45海里B处向哨所方向驶来，值班人员立即向轮船发出危险警告信号，但轮船没有收到信号，又继续向前行驶了15海里到达C处才收到哨所第二次发出的危险警告信号．（1）若轮船第一次能收到信号，为避免触礁，轮船航向应该改变角度至少为北偏东α度，求cosα的值；
（2）当轮船只收到第二次危险警告信号时，为避免触礁，轮船航向改变角度至少为南偏东多少度？
【答案】分析：（1）已知⊙A的直径为30海里，B为⊙A外一点．AB=45海里，BD切⊙A于点D，求sinB的值，让∠B的对边比上斜边即可，于是求出cosα．
（2）若C为AB上的一点，且BC=15海里，CE切⊙A于点E，求∠ACE的度数，先求得∠ACE的度数的正弦值，进而根据正弦值求得相应度数即可．
解答：
解：（1）在Rt△ABD中，∵AB=45，AD=15．
∴cosα=sinB=
=
=
，
（2）在Rt△ACE中，AC=45-15=30，AE=15．
∴sin∠ACE=
=
，则∠ACE=30°．
即轮船航向改变的角度至少为南偏东60°．
点评：本题主要考查解直角三角形在生活中的应用，用到的知识点为：一个锐角的正弦值=这个角的对边与斜边之比，此题难度不大．
（2）若C为AB上的一点，且BC=15海里，CE切⊙A于点E，求∠ACE的度数，先求得∠ACE的度数的正弦值，进而根据正弦值求得相应度数即可．
解答：
解：（1）在Rt△ABD中，∵AB=45，AD=15．∴cosα=sinB=
==，（2）在Rt△ACE中，AC=45-15=30，AE=15．
∴sin∠ACE=
=，则∠ACE=30°．即轮船航向改变的角度至少为南偏东60°．
点评：本题主要考查解直角三角形在生活中的应用，用到的知识点为：一个锐角的正弦值=这个角的对边与斜边之比，此题难度不大．
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