Question

如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，四边形DECF为正方形，请完成下列问题：
（1）请简述图甲是经过怎样的旋转变成图乙？
（2）若AD=3，DB=4，求△ADE与△BDF面积的和；
（3）求△ABC面积．

Answer 1

解：（1）∵四边形DECF为正方形，
∴∠EDF=90°，DE=DF，
∴DA绕点D逆时针旋转90度到DA₁的位置，DE绕点D逆时针旋转90度到DF位置，
∴图甲中的△ADE绕点D逆时针旋转90°得到图乙；

（2）设DE=DF=x．
∵DE∥BF，
∴∠ADE=∠B，
∴△AED∽△DFB，
∴AE：DF=AD：DB=DE：BF，即AE：x=3：4=x：BF，
∴AE=x，BF=x，
∴S_△AED+S_△DFB=•AE•DE+•BF•DF=•x•x+•x•x=x²，
在Rt△AED中，x²+（x）²=3²，
∴x²=，
∴S_△AED+S_△DFB=×=6；

（3）由（2）可知：DE²=，
则S_{正方形CFDE}=，
所以△ABC的面积=S_△AED+S_△DFB+S_{正方形CFDE}=6+=．
分析：（1）观察图形，发现DA旋转到DA₁，DE旋转到DF，而∠EDF=90°，由旋转的定义即可描述由图甲变成图乙的形成过程；
（2）证明△ADE∽△DFB，得到这两个三角形边之间的关系，再利用DE=DF和勾股定理可求出它们的面积和；
（3）由（2）得S_△AED+S_△DFB=6，DE²=，那么正方形CFDE的面积即为，则△ABC的面积=S_△AED+S_△DFB+S_{正方形CFDE}．
点评：本题考查旋转的性质，熟悉旋转的定义及其性质，熟练利用相似比和勾股定理建立线段之间的数量关系，记住三角形的面积公式．