题目内容

如图，平行四边形ABCD的边AB：BC=2：3，∠ABC=60°顶点A在y轴上，B，C在x轴上，D点在反比例函数 $数学公式$ （x＞0）的图象上，平行四边形CEFG的边CE：CG=2：3，顶点E在CD上，G在x轴上，F点在反比例函数 $数学公式$ 的图象上，则点F的坐标为________．

$\text{[math]}$
分析：首先根据锐角三角函数关系求出CO的长，进而利用由平行四边形CEFG的边CE：CG=2：3，∠ABC=60°表示出F点坐标，进而求出F点坐标．
解答：

解：过点D作DM⊥x轴于点M，过点F作FN⊥x轴于点N，
∵平行四边形ABCD的边AB：BC=2：3，∠ABC=60°顶点A在y轴上，
∴∠BAO=90°-60°=30°，
设AB=2x，则BO=x，BC=3x，
∴AO= $\text{[math]}$ x，
∴D（3x， $\text{[math]}$ x）
∵D点在反比例函数y= $\text{[math]}$ （x＞0）的图象上，
∴3x× $\text{[math]}$ x=3 $\text{[math]}$ ，
解得：x=1，
∴CO=3-1=2，
∵∠ABC=60°，AB∥CD，
∴∠ECG=∠FGN=60°，
∵平行四边形CEFG的边CE：CG=2：3，设EC=2y，则CG=3y，
∴GN= $\text{[math]}$ GF=y，FN= $\text{[math]}$ y，
∴F（2+3y+y， $\text{[math]}$ y）
∵F点在反比例函数y= $\text{[math]}$ 的图象上，
∴（2+3y+y）× $\text{[math]}$ y=3 $\text{[math]}$ ，
解得：y₁= $\text{[math]}$ ，y₂= $\text{[math]}$ （不合题意舍去），
∴ON=2+3× $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1+ $\text{[math]}$ ，ON= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴点F的坐标为：（1+ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）．
点评：本题考查的是反比例函数综合题，涉及到反比例函数图象上点的坐标特点及锐角三角函数的定义，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．