Question

【题目】（1）问题发现：如图1，在和中，，连接交于点．求证：；并直接写出______．

（2）类比探究：如图2，在和中，，连接交的延长线于点．请判断的值及的度数．

（3）拓展延伸：在（2）的条件下，将绕点在平面内旋转，所在直线交于点．若，请直接写出当点与点重合时的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；；（2）；；（3）或．

【解析】

（1）证明△COA≌△DOB（SAS），得AC＝BD，；由△COA≌△DOB，得∠CAO＝∠DBO，根据三角形的内角和定理得：∠AMB＝180°﹣（∠DBO+∠OAB+∠ABD）＝40°；

（2）根据两边的比相等且夹角相等可得△AOC∽△BOD，则，由全等三角形的性质得∠AMB的度数；

（3）正确画图形，当点C与点M重合时，有两种情况：如图3和4，同理可得：△AOC∽△BOD，则∠AMB＝90°，，可得AC的长．

解：（1）问题发现

如图1，∵∠AOB＝∠COD＝40°，

∴∠COA＝∠DOB，

∵OC＝OD，OA＝OB，

∴△COA≌△DOB（SAS），

∴AC＝BD；

∵△COA≌△DOB，

∴∠CAO＝∠DBO，

∵∠AOB＝40°，

∴∠OAB+∠ABO＝140°，

在△AMB中，∠AMB＝180°﹣（∠CAO+∠OAB+∠ABD）＝180°﹣（∠DBO+∠OAB+∠ABD）＝180°﹣140°＝40°，

∴，

（2）类比探究

如图2，

，∠AMB＝90°，理由是：

Rt△COD中，∠DCO＝30°，∠DOC＝90°，

∴，

同理得：，

∴，

∵∠AOB＝∠COD＝90°，

∴∠AOC＝∠BOD，

∴△AOC∽△BOD，

∴，∠CAO＝∠DBO，

在△AMB中，∠AMB＝180°﹣（∠MAB+∠ABM）＝180°﹣（∠OAB+∠ABM+∠DBO）＝90°；

（3）拓展延伸

①点C与点M重合时，如图3，

同理得：△AOC∽△BOD，

∴∠AMB＝90°，，

设BD＝x，则AC＝x，

Rt△COD中，∠OCD＝30°，OD＝1，

∴CD＝2，BC＝x﹣2，

Rt△AOB中，∠OAB＝30°，OB＝，

∴AB＝2OB＝2，

在Rt△AMB中，由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2，

，

x2﹣x﹣6＝0，

（x﹣3）（x+2）＝0，

x1＝3，x2＝﹣2，

∴AC＝3；

②点C与点M重合时，如图4，

同理得：∠AMB＝90°，，

设BD＝x，则AC＝x，

在Rt△AMB中，由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2，

，

x2+x﹣6＝0，

（x+3）（x﹣2）＝0，

x1＝﹣3，x2＝2，

∴AC＝2；

综上所述，AC的长为3或2．