Question

如图，在直角坐标系中，半圆直径为OC，半圆圆心D的坐标为（0，2），四边形OABC是矩形，点A的坐标为（6，0）．
（1）若过点P（2

3

，0）且与半圆D相切于点F的切线分别与y轴和BC边交于点H与点E，求切线PF所在直线的解析式；
（2）若过点A和点B的切线分别与半圆相切于点P₁和P₂（点P₁、P₂与点O、C不重合），请求P₁、P₂点的坐标并说明理由．（注：第（2）问可利用备用图作答）．

Answer 1

分析：（1）设出切线PH所在直线的解析式，过E点作ET⊥x轴于点T，连接DP、DF，则DF⊥PE，构造出直角三角形，利用特殊角的三角函数值求出E点的坐标，根据直线过P、E两点，列出方程组求出未知数的值，进而求出切线的解析式；
（2）分当k＜0，设过点A且与半圆相切于P₁点的切线方程为y=k₁x+b₁，P₁点的坐标为（x₁，y₁），切线与边BC交于点S，过点S作ST₁⊥x轴于点T₁．利用三角形相似求出P₁点的坐标．
k＞0时，据圆的对称性知P₂点是P₁点关于直线y=2对称的点，从而可得P₂点的坐标．

解答：解：（1）设切线PH所在直线的解析式为y=kx+b．（1分）
解法一：设E点的坐标为（x_E，4），过E点作ET⊥x轴于点T，连接DP、DF，则DF⊥PE，
在Rt△DOP和Rt△DFP中，∵OP=PF，OD=DF，∴△DOP≌△DFP．
在Rt△DOP中，tan∠DPO=

2

2 3

=

3

3

．
∴∠DPO=30°，从而知∠OPE=60度．
在Rt△EPT中，可求得PT=

4 3

3

，
∴E点的坐标为（

2 3

3

，4）．（4分）
∵直线过P、E两点，∴

2 3 k+b=0 2 3 3 k+b=4

解方程组，得

k=- 3 b=6

∴切线PF所在直线的解析式为y=-

3

x+6．（6分）
解法二：∵点P的坐标为（2

3

，0），且直线y=kx+b过点P，
∴2

3

k+b=0，b=-2

3

k．
设E点的坐标为（x_E，4），过E点作ET⊥x轴于点T．
∵切线过E点，
∴kx_E+b=4，xE=

1

k

（4-b）．
∵EC=EF，PF=PO，
∴PE=EF+FP．（4分）
在Rt△ETP中，PE²=ET²+PT²，
∴[

1

k

（4-b）+2

3

]²=4²+[2

3

-

1

k

（4-b）]²，解方程，得k=-

3

，b=6．
∴切线PF所在直线的解析式为y=-

3

x+6．（6分）

（2）如备用图，

（ⅰ）当k＜0时，设过点A且与半圆相切于P₁点的切线方程为y=k₁x+b₁，P₁点的坐标为（x₁，y₁），切线与边BC交于点S，过点S作ST₁⊥x轴于点T₁．
同上理，可得b₁=-6k₁，∴[

1

k1

（4-b₁）+6]²=4²+[6-

1

k1

（4-b₁）]²，
解方程，得k₁=-

3

4

，b₁=

9

2

．（8分）
∵直线y=k₁x+b₁与边BC交于点S（x₂，4），
∴4=-

3

4

x₂+

9

2

，解方程，得x₂=

2

3

．
∵

SA

P1A

=

ST1

y1

，
∴（

2

3

+6）y₁=6×4，解得y₁=

18

5

，代入y=-

3

4

x+

9

2

，解得x₁=

6

5

．
∴所求满足条件的P₁点的坐标为（

6

5

，

18

5

）．（10分）
（ⅱ）当k＞0时，据圆的对称性知P₂点是P₁点关于直线y=2对称的点，从而可得P₂点的坐标为（

6

5

，

2

5

）．（12分）

点评：此题难度很大，把一次函数，圆，三角形的知识结合起来，综合性很强，解答此题的关键是根据题意画出图形，利用数形结合求出结论．