Question

7．如图，AB是⊙O的直径，$\widehat{ED}$=$\widehat{BD}$，连接ED、BD，延长AE交BD的延长线于点M，过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点C．交AM于点N，且OA=CD=$\sqrt{2}$．
（1）求证：AB=AM．
（2）求阴影部分的面积．
（3）试求出线段AN的长．

Answer 1

分析 （1）连接OD，通过证明OD∥AM，得到∠M=∠ODB，因为OD=OB，所以∠ODB=∠ABM，所以∠M=∠OBD，根据等腰三角形的判定得到AM=AB；
（2）同切线的性质，得到OD⊥CD，从而证得△OCD为等腰直角三角形，得到∠DOC=45°，根据S_阴影=S_△OCD-S_扇OBD计算即可得解；
（3）连接AD，因为CD是⊙O的切线，根据切线长定理得，CD²=CB•CA，从而求得AC的长，在等腰Rt△ANC中，根据勾股定理可求得AN的长．

解答 解：（1）证明：如图，连接OD，
∵$\widehat{ED}$=$\widehat{BD}$，
∴∠MAD=∠DAB，
∵OA=OD，
∴∠DAB=∠ODA，
∴∠MAD=∠DAB=∠ODA，
∵∠DOC=∠DAB+∠ODA=2∠DAB，
而∠MAB=2∠DAB，
∴∠MAB=∠DOC，
∴OD∥AM，
∴∠M=∠ODB，
∵OD=OB，
∴∠BDO=∠OBD，
∴∠M=∠OBD，
∴AB=AM，
（2）解：∵CD是⊙O切线，
∴OD⊥CD，
∵OA=CD=$\sqrt{2}$，OA=OD，
∴OD=CD=$\sqrt{2}$，
∴△OCD为等腰直角三角形，
∴∠DOC=∠C=45°，
∴S_阴影=S_△OCD-S_扇OBD=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}-\frac{45π×（\sqrt{2}）^{2}}{360}$=$1-\frac{π}{4}$
（3）解：连结AD，
∵DC是⊙O的切线，
∴DC²=CB•CA=（CA-AB）•CA，
∴（$\sqrt{2}$）²=（CA-2$\sqrt{2}$）•CA，
解，得CA=2+$\sqrt{2}$，
在Rt△ANC中，∠ANC=90°，AN=NC，
∵AN²+CN²=AC²，
∴AN=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（2+$\sqrt{2}$）=$\sqrt{2}$+1．

点评 本题考查的是切线的性质、弦、弧之间的关系、扇形面积的计算，掌握切线的性质定理和扇形的面积公式是解题的关键，注意辅助线的作法．