Question

如图，在等腰Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=CB，点P为其内部一点满足PA：PC：PB=1：3：

7

，求∠APC的度数．

Answer 1

考点：旋转的性质,勾股定理的逆定理,等腰直角三角形

专题：

分析：由于△ABC为等腰直角三角形，AB=AC，则把△APB绕A点逆时针旋转90°可得到△AP′C，连PP′，根据旋转的性质得到∠P′AP=90°，P′A=PA=a，P′C=PB=3a，得到△PAP′为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得P′P=

2

PA=

2

a，∠APP′=45°，在△P′PC中，可得到PC²+P′P²=P′C²，根据勾股定理的逆定理得到△P′PC为直角三角形，∠CPP′=90°，利用∠CPA=∠CPP′+∠APP′进行计算即可．

解答：解：∵在等腰Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=CB，
∴把△APB绕A点逆时针旋转90°可得到△AP′C，连PP′，如图，
∴∠P′AP=90°，P′A=PA，P′C=PB，
∵PA：PC：PB=1：3：

7

，
设PB=a，PC=3a，PA=

7

a，
∴△PAP′为等腰直角三角形，
∴P′P=

2

PA=

2

a，∠APP′=45°，
在△P′PC中，P′C=3，P′P=

2

a，PC=

7

a，
∵（

7

a）²+（

2

a）²=（3a）²，
∴PC²+P′P²=P′C²，
∴△P′PC为直角三角形，∠CPP′=90°，
∴∠CPA=∠CPP′+∠APP′=90°+45°=135°．

点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了勾股定理的逆定理以及等腰直角三角形的判定与性质．