Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的边AB在x轴上，且AB=3，BC=2

3

，直线y=

3

x-2

3

经过点C，交y轴于G
（1）点C、D的坐标分别是C

（4，2

3

）

、D

（1，2

3

）

；
（2）求顶点在直线y=

3

x-2

3

上且经过C、D的抛物线的解析式．

Answer 1

分析：（1）根据题意可得点C的纵坐标为3，代入直线解析式可得出点C的横坐标，继而也可得出点D的坐标；
（2）由题意可得点C和点D关于抛物线的对称轴对称，从而得出抛物线的对称轴为x=

5

2

，再由抛物线的顶点在直线y=

3

x-2

3

上，可得出顶点坐标为（

5

2

，

3

），设出顶点式，代入点C的坐标即可得出答案．

解答：解：（1）∵BC=2

3

，
∴点C的纵坐标为2

3

，
又∵直线y=

3

x-2

3

经过点C，
所以可得点C的横坐标为4，
即点C的坐标为：（4，2

3

），
∵CD平行x轴，AB=3，
∴点D的坐标为（1，2

3

）．

（2）∵点C坐标为（4，2

3

），点D坐标为（1，2

3

），
故可得抛物线的对称轴为x=

5

2

，
又∵抛物线的顶点在直线y=

3

x-2

3

上，
故可得抛物线的顶点为（

5

2

，

3

2

），
设抛物线的解析式为：y=a（x-

5

2

）²+

3

2

，
因为抛物线经过点D（1，2

3

），所以2

3

=

9

4

a+

3

2

，
解得：a=

2 3

3

，
故可得抛物线的解析式为：y=

2 3

3

（x-

5

2

）²+

3

2

．

点评：此题属于二次函数的综合题，难点在第二问，关键是根据抛物线的对称性得出对称轴的，然后求出顶点坐标，要求我们熟练待定系数法求二次函数关系式，难度较大．