题目内容

如图a，在平面直角坐标系中，A（0，6），B（4，0）

（1）按要求画图：在图a中，以原点O为位似中心，按比例尺1：2，将△AOB缩小，得到△DOC，使△AOB与△DOC在原点O的两侧；并写出点A的对应点D的坐标为，点B的对应点C的坐标为；
（2）已知某抛物线经过B、C、D三点，求该抛物线的函数关系式，并画出大致图象；
（3）连接DB，若点P在CB上，从点C向点B以每秒1个单位运动，点Q在BD上，从点B向点D以每秒1个单位运动，若P、Q两点同时分别从点C、点B点出发，经过t秒，当t为何值时，△BPQ是等腰三角形？

解：（1）△DOC如图所示，
点C（-2，0），D（0，-3），
故答案为：D（0，-3），C（-2，0）；

（2）∵C（-2，0），B（4，0），设抛物线y=a（x+2）（x-4），
将D（0，-3）代入，得-8a=-3，
解得a= $\text{[math]}$ ，
所以，y= $\text{[math]}$ （x+2）（x-4），
即y= $\text{[math]}$ x²- $\text{[math]}$ x-3，
大致图象如图所示；

（3）设经过ts，△BPQ为等腰三角形，
此时CP=t，BQ=t，
所以，BP=6-t，
∵OD=3，OB=4，
∴BD= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =5，

①QP=QB时，如图，过Q作QG⊥BC于G，则BG= $\text{[math]}$ BP= $\text{[math]}$ （6-t），
由△BGQ∽△BOD，得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
解得t= $\text{[math]}$ s；
②BP=BQ时，则6-t=t，
解得t=3s；

③PQ=PB时，如图，过P作PH⊥BD于H，则BH= $\text{[math]}$ BQ= $\text{[math]}$ t，
由△BHP∽△BOD，得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
解得t= $\text{[math]}$ s，
综上所述，当t= $\text{[math]}$ s或3s或 $\text{[math]}$ s时，△BPQ为等腰三角形．
分析：（1）在射线AO上截取OD=3，在射线BO上截取OC=2，然后连接CD，即可得到△DOC，然后根据平面直角坐标系写出点D、C的坐标即可；
（2）根据点B、C的坐标设交点式解析式y=a（x+2）（x-4），然后把点D的坐标代入求出a的值，即可得到抛物线解析式，然后作出大致图象即可；
（3）先用t表示出CP、BQ、BP的长度，并根据点B、D的坐标求出OB、OD的长度，根据勾股定理求出BD的长度，然后分①QP=QB时，过Q作QG⊥BC于G，根据三角形三线合一的性质可得BG= $\text{[math]}$ BP，再根据△BGQ和△BOD相似，利用相似三角形对应边成比例列式计算即可求出t的值；②BP=BQ时，列出方程求解即可得到t的值；③PQ=PB时，过P作PH⊥BD于H，根据等腰三角形三线合一的性质可得BH= $\text{[math]}$ BQ，再根据△BHP和△BOD相似，利用相似三角形对应边成比例列式计算即可求出t的值．
点评：本题是二次函数的综合题型，主要涉及了位似变换，待定系数法求二次函数解析式，解等腰三角形，（2）用抛物线的交点式形式求解比较简单，（3）要注意根据等腰三角形的腰长的不同分情况讨论．