Question

1．一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图（1）所示），拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m．

（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图（2）所示），请根据所给的数据求出抛物线的解析式；
（2）求支柱EF的长度；（3）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2m的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高3m的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说说你的理由．

Answer 1

分析 （1）根据题目可知A，B，C的坐标，设出抛物线的解析式代入可求解．
（2）设F点的坐标为（5，y_F）可求出支柱MN的长度．
（3）根据题意得到三辆汽车最右边到原点的距离为1+3×2=7，当x=7时，得到y=-$\frac{3}{50}$×49+6=3.06＞3，于是得到结论．

解答 解：（1）根据题目条件A，B，C的坐标分别是（-10，0），（10，0），（0，6），
设抛物线的解析式为y=ax²+c，
将B，C的坐标代入y=ax²+c，
得$\left\{\begin{array}{l}{6=c}\\{0=100a+c}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{3}{50}}\\{c=6}\end{array}\right.$．
所以抛物线的表达式y=-$\frac{3}{50}$x²+6；

（2）可设F（5，y_F），于是y_F=-$\frac{3}{50}$×5²+6=4.5，
从而支柱EF的长度是10-4.5=5.5米；

（3）根据题意，三辆汽车最右边到原点的距离为：1+3×2=7，
当x=7时，y=-$\frac{3}{50}$×49+6=3.06＞3，
故可以并排行驶宽2m，高3m的三辆汽车．

点评 本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．