Question

【题目】如图1，已知直线，线段在直线上，于点，且，是线段上异于两端点的一点，过点的直线分别交、于点、（点、位于点的两侧），满足，连接、．

（1）求证：；

（2）连结、，与相交于点，如图2，

①当时，求证：；

②当时，设的面积为，的面积为，的面积为，求的值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②

【解析】

（1）根据平行和垂直得出∠ABP=∠CBE，再根据SAS证明即可；

（2）①延长AP交CE于点H，求出AP⊥CE，证出△CPD∽△BPE，推出DP=PE，求出平行四边形BDCE，推出CE∥BD即可；②分别用S表示出△PAD和△PCE的面积，代入求出即可．

（1）∵，

∴，

在和中，

，

∴；

（2）①延长交于点，

∴，

∴∠APB=∠CEB，

∴，

∴，

∵，即为的中点，，

∴∽,

∴,

∴,

∴四边形是平行四边形，

∴，

∵，

∴;

②∵，

∴，

∴，

∵,

∴∽，

∴，

设△PBE的面积S△PBE=S，则△PCE的面积S△PCE满足，即S2=（n-1）S，

即，

∵，

∴，

∵，

∴S1=（n-1）S△PAE，即S1=（n+1）（n-1）S，,

∴．