Question

如图，六边形ABCDEF内接于半径为r（r为常数）的⊙O，其中AD为直径，且AB=CD=DE=FA。

（1）当∠BAD=75°时，求的长；
（2）求证：BC∥AD∥FE；
（3）设AB=x，求六边形ABCDEF的周长L关于x的函数关系式，并指出x为何值时，L取得最大值。

Answer 1

（1）解：连结OB、OC，由∠BAD=75°，OA=OB知∠AOB=30°，
∵AB=CD，
∴∠COD=∠AOB=30°，∴∠BOC=120°，
故的长为。
（2）证明：连结BD，
∵AB=CD，
∴∠ADB=∠CBD，
∴BC∥AD，
同理EF∥AD，
从而BC∥AD∥FE。
（3）过点B作BM⊥AD于M，由（2）知四边形ABCD为等腰梯形，
从而BC=AD-2AM=2r-2AM，
∵AD为直径，
∴∠ABD=90°，
易得△BAM∽△DAB，
∴AM==，
∴BC=2r-，同理EF=2r-，
∴，其中0＜x＜r，
∴当x=r时，L取得最大值6r。