Question

【题目】如图1，二次函数y=ax2＋bx＋c的图象与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C，若tan∠ABC=3，一元二次方程ax2＋bx＋c=0的两根为-8、2

(1) 求二次函数的解析式

(2) 直线l绕点A以AB为起始位置顺时针旋转到AC位置停止，l与线段BC交于点D，P是AD的中点

① 求点P的运动路程

② 如图2，过点D作DE垂直x轴于点E，作DF⊥AC所在直线于点F，连结PE、PF，在l运动过程中，∠EPF的大小是否改变？请说明理由

(3) 在(2)的条件下，连结EF，求△PEF周长的最小值

Answer 1

【答案】（1）y=x2+x-6；（2）①；②∠EPF的大小不会改变；（3）．

【解析】

试题分析：（1）利用tan∠ABC=3，得出C但坐标，再利用待定系数法求出二次函数解析式；

（2）①当l在AB位置时，P即为AB的中点H，当l运动到AC位置时，P即为AC中点K，则P的运动路程为△ABC的中位线HK，再利用勾股定理得出答案；

②首先利用等腰三角形的性质得出∠PAE=∠PEA=∠EPD，同理可得：∠PAF=∠PFA=∠DPF，进而求出∠EPF=∠EPD+∠FPD=2（∠PAE+∠PAF），即可得出答案；

（3）首先得出C△PEF=AD+EF，进而得出EG=PE，EF=PE=AD，利用C△PEF=AD+EF=（1+）AD=AD，得出最小值即可．

试题解析：（1）∵函数y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，且一元二次方程ax2+bx+c=0两根为：-8，2，

∴A（-8，0）、B（2，0），即OB=2，

又∵tan∠ABC=3，∴OC=6，即C（0，-6），

将A（-8，0）、B（2，0）代入y=ax2+bx-6中，得：

，解得：，

∴二次函数的解析式为：y=x2+x-6；

（2）①如图1，

当l在AB位置时，P即为AB的中点H，

当l运动到AC位置时，P即为AC中点K，

∴P的运动路程为△ABC的中位线HK，

∴HK=BC，

在Rt△BOC中，OB=2，OC=6，

∴BC=2，∴HK=，

即P的运动路程为：；

②∠EPF的大小不会改变，

理由如下：如图2，

∵DE⊥AB，

∴在Rt△AED中，P为斜边AD的中点，

∴PE=AD=PA，

∴∠PAE=∠PEA=∠EPD，

同理可得：∠PAF=∠PFA=∠DPF，

∴∠EPF=∠EPD+∠FPD=2（∠PAE+∠PAF），

即∠EPF=2∠EAF，

又∵∠EAF大小不变，

∴∠EPF的大小不会改变；

（3）设△PEF的周长为C，则C△PEF=PE+PF+EF，

∵PE=AD，PF=AD，

∴C△PEF=AD+EF，

在等腰三角形PEF中，如图2，过点P作PG⊥EF于点G，

∴∠EPG=∠EPF=∠BAC，

∵tan∠BAC=，

∴tan∠EPG=，

∴EG=PE，EF=PE=AD，

∴C△PEF=AD+EF=（1+）AD=AD，

又当AD⊥BC时，AD最小，此时C△PEF最小，

又S△ABC=30，

∴BC×AD=30，

∴AD=3，

∴C△PEF最小值为：AD=．