Question

         

    如图，△ABC中，∠BAC=90°，正方形的一边GF在BC上，其余两个顶点D，E分别在AB，AC上.连接AG，AF分别交DE于M，N两点．

（1）求证：.

(2) 求证：．

(3)若AB=AC=2，求MN的

Answer 1

（1）证明：∵四边形DGFE是正方形，∴DN∥BF，

∴△ADM∽△ABG，

∴,同理可得．

∴．

（2）证明：由（1）可知，同理也可以得到,

∴,.-

∵∠B＋∠C=90°，∠CEF＋∠C=90°． ∴∠B=∠CEF，

又∵∠BGD=∠EFC=Rt∠，∴△BGD∽△EFC． ∴.

∵DG,GF,EF是同一个正方形的边长，∴DG=GF=EF. ∴

∴, ∴MN ²＝DM·EN -

（3） ∵ ∴

∵∠B=∠C＝45^o , 四边形DEFG是正方形，

∴

∵ 由（1）(2)可得

∴