Question

在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点A（0，2），点C（-1，0），如图所示；抛物线y=ax²+ax-2经过点B。

（1）求点B的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）在抛物线上是否还存在点P（点B除外），使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形？若存在，求所有点P的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）过点B作BD⊥x轴，垂足为D
∵，
∴
又∵，
∴△≌△
∴=OC=1，
∴点B的坐标为（-3，1）；
（2）抛物线经过点B（-3，1），则得到
解得
所以抛物线解析式为；
（3）假设存在P、Q两点，使得△ACP是直角三角形
①若以AC为直角边，点C为直角顶点
则延长至点，使得，得到等腰直角三角形△
过点作
∵
∴
∴
∴
可求得点P₁（1，-1）；
②若以AC为直角边，点A为直角顶点
则过点A作，且使得
得到等腰直角三角形△，过点P₂作，同理可证△≌△
∴
可求得点P₂（2，1）。