Question

已知x₁、x₂是一元二次方程2x²-2x+m+1=0的两个实根．
（1）求实数m的取值范围；
（2）如果m满足不等式7+4x₁x₂＞x₁²+x₂²，且m为整数．求m的值．

Answer 1

分析：（1）方程有两个实数根，必须满足△=b²-4ac≥0，从而求出实数m的取值范围；
（2）利用根与系数的关系，不等式7+4x₁x₂＞x₁²+x₂²，即（x₁+x₂）²-6x₁x₂-7＜0．由一元二次方程根与系数的关系，得x₁+x₂=1，x₁x₂=

m+1

2

．代入整理后的不等式，即可求得m的值．

解答：解：（1）∵a=2，b=-2，c=m+1．
∴△=（-2）²-4×2×（m+1）=-4-8m．
当-4-8m≥0，即m≤-

1

2

时．方程有两个实数根．

（2）整理不等式7+4x₁x₂＞x₁²+x₂²，得
（x₁+x₂）²-6x₁x₂-7＜0．
由一元二次方程根与系数的关系，得x₁+x₂=1，x₁x₂=

m+1

2

．
代入整理后的不等式得1-3（m+1）-7＜0，解得m＞-3．
又∵m≤-

1

2

，且m为整数．
∴m的值为-2，-1．

点评：一元二次方程ax²+bx+c=0（a，b，c为常数，且a≠0，b²-4ac≥0），根与系数的关系是：x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

．