Question

如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B.

求证：（1）△ADF∽△DEC；

（2）若AB＝4，AD＝3，AE＝3，求AF的长.

 

Answer 1

【答案】

（1）根据平行四边形的性质可得AD∥BC，AB∥CD，即得∠ADF=∠CED，∠B+∠C=180°，再由∠AFE+∠AFD=180°，∠AFE=∠B，可得∠AFD=∠C，问题得证；（2）

【解析】

试题分析：（1）根据平行四边形的性质可得AD∥BC，AB∥CD，即得∠ADF=∠CED，∠B+∠C=180°，再由∠AFE+∠AFD=180°，∠AFE=∠B，可得∠AFD=∠C，问题得证；

（2）根据平行四边形的性质可得AD∥BC，CD=AB=4，再根据勾股定理可求得DE的长，再由△ADF∽△DEC根据相似三角形的性质求解即可.

（1）∵四边形ABCD是平行四边形

∴AD∥BC，AB∥CD   

∴∠ADF=∠CED，∠B+∠C=180°

∵∠AFE+∠AFD=180，∠AFE=∠B

∴∠AFD=∠C

∴△ADF∽△DEC；

（2）∵四边形ABCD是平行四边形

∴AD∥BC，CD=AB=4

又∵AE⊥BC       

∴AE⊥AD

在Rt△ADE中，DE=

∵△ADF∽△DEC

∴      

∴，解得AF=.

考点：平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理

点评：此类问题难度较大，在中考中比较常见，一般在压轴题中出现，需特别注意.