Question

如图，Rt△ABC中，∠C=90°，CD=6，以CD为直径的⊙O切AB于G，设AG²=y，AC=x．
（1）求y与x的函数关系式，并指出自变量的取值范围．
（2）利用所求出的函数关系式，求当AC为何值时，才能使得BC与⊙O的直径相等？
（3）△ACB有可能为等腰三角形吗？若可能，请求出x的值；若不可能，请说出理由．

Answer 1

分析：（1）利用勾股定理求出即可；
（2）利用三角形相似的判定得出Rt△OAG∽Rt△BAC，进而得出答案．
（3）由Rt△OAG∽Rt△BAC，当△BAC为等腰三角形时，△OAG也为等腰三角形，进而得出答案．

解答：解：（1）连接OG，则OG⊥AG．
∴AG²=AO²-OG²
即y=（x-3）²-3²，∴y=x²-6x（x＞6）

（2）

∵∠OAG=∠BAC ∠AGO=∠ACB

?Rt△OAG∽Rt△BAC?

AG

OG

=

AC

BC

即

x2-6x

3

=

x

6

?x²-8x=0
因为x≠0x=8．
即当AC=8时，有BC与直径DC相等．

（3）∵Rt△OAG∽Rt△BAC，
故当△BAC为等腰三角形时，△OAG也为等腰三角形，这时必有AG=OG=3．
将y=AG²=3²=9代入y=x²-6x得x²-6x-9=0
解得x₁=3+3

2

，x2=3-3

2

（不符题意，舍去）
所以，当x=3+3

2

时，△ACB为等腰三角形．

点评：此题主要考查了相似三角形的判定以及等腰三角形的性质等知识，根据已知得出Rt△OAG∽Rt△BAC是解决问题的关键．