Question

如图，在边长为8的正方形ABCD中，点O为AD上一动点(4＜OA＜8)，以O为圆心，OA的长为半径的圆交边CD于点M，连接OM，过点M作⊙O的切线交边BC于N．

(1)求证：△ODM∽△MCN；

(2)设DM＝x，求OA的长(用含x的代数式表示)；

(3)在点O的运动过程中，设△CMN的周长为P，试用含x的代数式表示P，你能发现怎样的结论？

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵MN切⊙O于点M，∴　　1分 　　∵ 　　∴　　2分 　　又∵∴△∽△，　　3分 　　(2)在Rt△中，，设； 　　∴，　　4分 　　由勾股定理得：，　　5分 　　∴，∴；　　6分 　　(3)解法一：∵，又 　　且有△∽△，∴，∴代入得到；　　7分 　　同理，∴代入得到；　　8分 　　∴△CMN的周长为P＝ 　　．　　9分 　　发现：在点O的运动过程中，△CMN的周长P始终为16，是一个定值．　　10分 　　解法二：在Rt△中，， 　　设△的周长＝；　　7分 　　而△∽△，且相似比；　　8分 　　∵，∴△的周长为P＝．　　9分 　　发现：在点O的运动过程中，△CMN的周长P始终为16，是一个定值．　　10分