Question

已知：?ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程x²-mx+

m

2

-

1

4

=0的两个实数根．
（1）当m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长；
（2）若AB的长为2，那么?ABCD的周长是多少？

Answer 1

分析：（1）让根的判别式为0即可求得m，进而求得方程的根即为菱形的边长；
（2）求得m的值，进而代入原方程求得另一根，即易求得平行四边形的周长．

解答：解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，
∴△=0，即m²-4（

m

2

-

1

4

）=0，
整理得：（m-1）²=0，
解得m=1，
当m=1时，原方程为x²-x+

1

4

=0，
解得：x₁=x₂=0.5，
故当m=1时，四边形ABCD是菱形，菱形的边长是0.5；

（2）把AB=2代入原方程得，m=2.5，
把m=2.5代入原方程得x²-2.5x+1=0，解得x₁=2，x₂=0.5，
∴C_?ABCD=2×（2+0.5）=5．

点评：综合考查了平行四边形及菱形的有关性质；利用解一元二次方程得到两种图形的边长是解决本题的关键．