题目内容

如图，△ABC中，∠BAC=60°，AB=2AC．点P在△ABC内，且PA= $数学公式$ ，PB=5，PC=2，求△ABC的面积．

解：如图，作△ABQ，使得：∠QAB=∠PAC，∠ABQ=∠ACP，
则△ABQ∽△ACP，
∵AB=2AC，
∴△ABQ与△ACP相似比为2，
∴AQ=2AP=2 $\text{[math]}$ ，BQ=2CP=4，∠QAP=∠QAB+∠BAP=∠PAC+∠BAP=∠BAC=60°，
∵AQ：AP=2：1，
∴∠APQ=90°，∠AQP=30°，
∴PQ= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =3，
∴BP²=25=BQ²+PQ²，
∴∠BQP=90°
作AM⊥BQ于M，
由∠BQA=∠BQP+∠AQP=120°，
∴∠AQM=60°，QM= $\text{[math]}$ ，AM=3，
∴AB²=BM²+AM²=（4+ $\text{[math]}$ ）²+3²=28+8 $\text{[math]}$ ，
∴S_△ABC= $\text{[math]}$ AB•ACsin60°= $\text{[math]}$ AB²= $\text{[math]}$ ．
分析：首先作△ABQ，使得：∠QAB=∠PAC，∠ABQ=∠ACP，即可得△ABQ∽△ACP，即可得△ABQ与△ACP相似比为2，继而可得△APQ与△BPQ是直角三角形，根据直角三角形的性质，即可求得△ABC的面积．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的判定与性质以及三角函数的性质．此题难度较大，解题的关键是辅助线的构造，还要注意勾股定理与勾股定理的逆定理的应用．