Question

函数y=x2-ax+

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4

(a-1)，其中a为任意实数，则该函数的图象在x轴上截得的最短线段的长度为

3

2

．

Answer 1

分析：设函数y=x²-ax+

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4

（a-1）与x轴的交点坐标分别为（x₁，0），（x₂，0），则该函数的图象在x轴上截得的最短线段的长度为|x₁-x₂|．欲求|x₁-x₂|的最小值，需要根据关于x一元二次方程
x²-ax+

1

4

（a-1）=0的根与系数的关系与代数式的变形相结合求得（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁•x₂=a²-a+1=（a-

1

2

）²+

3

4

，最后根据二次函数的最值的求法即可解得|x₁-x₂|的最小值．

解答：解：设函数y=x²-ax+

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（a-1）与x轴的交点坐标分别为（x₁，0），（x₂，0），则
x₁、x₂是一元二次方程x²-ax+

1

4

（a-1）=0的两个实数根，
由韦达定理得，x₁+x₂=a，x₁•x₂=

1

4

（a-1），
则（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁•x₂=a²-a+1=（a-

1

2

）²+

3

4

，
∵a为任意实数，∴（a-

1

2

）²≥0，
∴（x₁-x₂）²≥

3

4

，
∴|x₁-x₂|≥

3

2

，
∴|x₁-x₂|的最小值是

3

2

，即该函数的图象在x轴上截得的最短线段的长度为

3

2

．
故答案是：

3

2

．

点评：本题考查了抛物线与x轴的交点问题．利用二次函数与一元二次方程间的关系是解答此类题目常用的方法．