Question

如图，已知抛物线（b，c是常数，且c<0）与x轴分别交于点A，B（点A位于点B的左侧），与y轴的负半轴交于点C，点A的坐标为(－1，0)．

（1）b＝　 　 ，点B的横坐标为　 　 （上述结果均用含c的代数式表示）；
（2）连接BC，过点A作直线AE∥BC，与抛物线交于点E．点D是x轴上一点，其坐标为
(2，0)，当C，D，E三点在同一直线上时，求抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，点P是x轴下方的抛物线上的一动点，连接PB，PC，设所得△PBC的面积为S．
①求S的取值范围；
②若△PBC的面积S为整数，则这样的△PBC共有　 　 个．

Answer 1

解：（1）；。
（2）在中，令x=0，得y=c，
∴点C的坐标为（c，0）。
设直线BC的解析式为，
∵点B的坐标为(－2 c，0)，∴。
∵，∴。
∴直线BC的解析式为。
∵AE∥BC，∴可设直线AE的解析式为。
∵点A的坐标为(－1，0)，∴，。
∴直线AE的解析式为。
由解得。
∴点E的坐标为。
∵点C的坐标为，点D的坐标为（2，0），∴直线CD的解析式为。
∵点C，D，E三点在同一直线上，∴。
∴，解得（舍去）。
∴。
∴抛物线的解析式为。
（3）①设点P的坐标为，

∵点A的坐标为(－1，0)，点B的坐标为(4，0)，点C的坐标为（0，－2），
∴AB=5，OC=2，直线CB的解析式为。
当时，，
∵，∴。
当时，过点P作PG⊥x轴于点G，交BC于点F，
∴点F的坐标为。
∴。
∴。
∴当x=2时，。∴。
综上所述，S的取值范围为。
②11。

试题分析：（1）将点A的坐标为(－1，0)代入得。
∴。
令，解得。
∴点B的横坐标为。
（2）求出直线BC的解析式，从而求出直线AE的解析式，得到点E的坐标为，由点C，D，E三点在同一直线上，将代入直线CD的解析式即可求出c，由（1）求出b，从而得到抛物线的解析式。
（3）①分和两种情况讨论。
②当时，，且S为整数，对应的x有4个；
当时，，，且S为整数，对应的x有7个（时只有1个）。
∴若△PBC的面积S为整数，则这样的△PBC共有11个。