Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC=4厘米，BC=8厘米，在等腰△PQR中，∠QPR=120°，底边QR=12厘米，点B、C、Q、R在同一直线l上，且C、Q两点重合．如果等腰△PQR以2厘米/秒的速度沿直线l按箭头所示方向匀速运动，t秒时梯形ABCD与等腰△PQR重合部分的面积记为S平方厘米．
（1）当t=2时，求S的值；
（2）当6≤t≤10时，求S与t的函数关系式，并求出S的最大值．

Answer 1

解：（1）由题意得：当t=2时，Q点远动到BC中点处，如图所示，此时三角形与梯形的重合部分为△MQC，其中点M为PQ与CD的交点，
易知QC=4，∠PQC=30°，∠QCM=60°，∴∠QMC=90°，
在Rt△QMC中，有MC=2，QM=2，
可以S_△MQC=QM•MC=×2×2=2（cm ²）；

（2）当t=6时，点R运动到点C处，点P运动到点A处，因此当6≤t≤10时，点P在点A及其左侧，
如图所示，点F为AB与PR的交点，
△PQR与梯形ABCD的重合部分为△MQC，
由于∠FBR=60°，∠FRB=30°，
∴△FBR为Rt△，
∵RC=2t-12，
∴BR=BC-RC=8-（2t-12）=20-2t=2（10-t），
∴FB=BR=10-t，
FR=（10-t），
故S_△FBR=FB•FR=（t-10）²，
即S与t的函数关系式为：S=（t-10）²，（6≤t≤10），
当t=6时，S取到最大值且最大值为：S=8（cm ²）．
分析：（1）根据当t=2时，Q点远动到BC中点处，首先得出∠QMC=90°，进而求出S_△MQC=QM•MC得出答案即可；
（2）根据当t=6时，点R运动到点C处，点P运动到点A处，即可得出△FBR为Rt△，进而求出RC=2t-12，FB=BR=10-t，FR=（10-t），即可求出S_△FBR=FB•FR=（t-10）²，
再利用函数最值求出即可．
点评：此题主要考查了等腰梯形的性质以及等腰三角形的性质一级函数最值求法等知识，根据已知得出，∠QMC=90°和△FBR为Rt△是解题关键．