Question

矩形ABCD的对角线交于O点，一条边的长为1，△AOB是正三角形，则这个矩形的周长为________．

Answer 1

2+2或+2
分析：画出图形，根据矩形的对角线互相平分且相等可得AC=2OB，再根据等边三角形的三边都相等，然后求出AC=2AB，然后分①AB=1时，利用勾股定理列式求出BC，②BC=1时，利用勾股定理列式求出AB的长，再根据矩形的周长公式列式计算即可得解．
解答：解：在矩形ABCD中，AC=2OB，
∵△AOB是正三角形，
∴OB=AB，
∴AC=2AB，
①AB=1时，AC=2，
根据勾股定理，BC===，
所以，矩形的周长=2（AB+BC）=2（1+）=2+2；
②BC=1时，根据勾股定理，AB²+BC²=AC²，
所以，AB²+1²=（2AB）²，
解得AB=，
所以，矩形的周长=2（AB+BC）=2（+1）=+2；
综上所述，矩形的周长为2+2或+2．
故答案为：2+2或+2．
点评：本题考查了矩形的对角线互相平分且相等的性质，等边三角形的性质，难点在于要分情况讨论．