Question

【题目】如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣2，0），B（4，0），C（0，3）三点．

（1）求该抛物线的解析式；
（2）在y轴上是否存在点M，使△ACM为等腰三角形？若存在，请直接写出所有满足要求的点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点P（t，0）为线段AB上一动点（不与A，B重合），过P作y轴的平行线，记该直线右侧与△ABC围成的图形面积为S，试确定S与t的函数关系式．

Answer 1

【答案】
（1）

解：把A（﹣2，0），B（4，0），C（0，3）代入抛物线y=ax2+bx+c得：

，解得： ，

则抛物线的解析式是：y=﹣ x2+ x+3

（2）

解：如图1，作线段CA的垂直平分线，交y轴于M，交AC与N，连结AM1，则△AM1C是等腰三角形，

∵AC= = ，

∴CN= ，

∵△CNM1∽△COA，

∴ = ，

∴ = ，

∴CM1= ，

∴OM1=OC﹣CM1=3﹣ = ，

∴M1的坐标是（0， ），

当CA=CM2= 时，则△AM2C是等腰三角形，

则OM2=3+ ，

M2的坐标是（0，3+ ），

当CA=AM3= 时，则△AM3C是等腰三角形，

则OM3=3，

M3的坐标是（0，﹣3），

当CA=CM4= 时，则△AM4C是等腰三角形，

则OM4= ﹣3，

M4的坐标是（0，3﹣ ），

（3）

解：如图2，当点P在y轴或y轴右侧时，

设直线与BC交于点D，

∵OB=4，OC=3，

∴S△BOC=6，

∵BP=BO﹣OP=4﹣t，

∴ = ，

∵△BPD∽△BOC，

∴ =（ ）2，

∴ =（ ）2，

∴S=S△BPD= t2﹣3t+6（0≤t＜4）；

当点P在y轴左侧时，

设直线与AC交与点E，

∵OP=﹣t，AP=t+2，

∴ = ，

∵ =（ ）2，

∴ =（ ）2，

∴S△APE= ，

∴S=S△ABC﹣S△APE=9﹣ =﹣ t2﹣3t+6（﹣2＜t＜0）．

【解析】（1）把A（﹣2，0），B（4，0），C（0，3）代入抛物线y=ax2+bx+c，求解即可；（2）作线段CA的垂直平分线，交y轴于M，交AC与N，连结AM1 ， 则△AM1C是等腰三角形，然后求出OM1得出M1的坐标，当CA=CM2时，则△AM2C是等腰三角形，求出OM2得出M2的坐标，当CA=AM3时，则△AM3C是等腰三角形，求出OM3得出M3的坐标，当CA=CM4时，则△AM4C是等腰三角形，求出OM4得出M4的坐标，（3）当点P在y轴或y轴右侧时，设直线与BC交与点D，先求出S△BOC ， 再根据△BPD∽△BOC，得出 =（ ）2 ， =（ ）2 ， 求出S=S△BPD；当点P在y轴左侧时，设直线与AC交与点E，根据 =（ ）2 ， 得出 =（ ）2 ， 求出S=S△ABC﹣S△APE=9﹣ ，再整理即可．