题目内容
如图，在直角梯形OABC中，已知B、C两点的坐标分别为B（8，6）、C（10，0），动点M由原点O出发沿OB方向匀速运动，速度为1单位/秒；同时，线段DE由CB出发沿BA方向匀速运动，速度为1单位/秒，交OB于点N，连接DM，过点M作MH⊥AB于H，设运动时间为t（s）（0＜t＜8）．
（1）试说明：△BDN∽△OCB；
（2）试用t的代数式表示MH的长；
（3）当t为何值时，以B、D、M为顶点的三角形与△OAB相似？
（4）设△DMN的面积为y，求y与t之间的函数关系式．
解：（1）∵AB∥CO，
∴∠DBO=∠BOC，∠BDN=∠DEO，
∵线段DE由CB出发沿BA方向匀速运动，
∴DE∥BC，
∴∠DEO=∠OCB，
∴∠BDN=∠OCB，
∴△BDN∽△OCB；
（2）直角梯形中OABC中，∠BAO=90°，MH⊥AB，
∴∠BHM=∠BAO=90°，OB=
=10，
∴MH∥AO，
∴△BHM∽△BAO，
∴
，
∴
，
∴MH=6-
t；
（3）①若△BDM∽△BAO，
∴
，
∴
，
∴t=
，
②若△BDM∽△BOA，
∴
，
∴
，
∴t=
；
综上所述，当
或
时，△BDM与△BOA相似；
（4）过点B作BG⊥OC于G，
∴BG=AO=6，
∴
，
∵△BDN∽△OCB，
∴
，
∴
，
∴
，
①当点M在ON上即0＜t＜5时，
y=S△DMN=S△BDM-S△BDN，
=
，
=
，
②当点M在BN上即5＜t＜8时，
y=S△DMN=S△BDN-S△BDM，
=
t2-
×t×（6-t），
=t2-3t．
分析：（1）根据平行线证明∠DBO=∠BOC，∠BDN=∠DEO=∠OCB，根据两组角对应相等两三角形相似即可证明△BDN∽△OCB；
（2）利用勾股定理求出OB的长为10，再表示出BM长为10-t，然后利用相似三角形对应边成比例得，代入求解即可；
（3）因为两三角形的对应边不明确，所以分BD与BA是对应边和BD与BO是对应边两种情况，根据相似三角形对应边成比例列式求解即可；
（4）先求出△OBC的面积为30，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出△BDN的面积，然后分点M在ON上时S△DMN=S△BDM-S△BDN和点M在BN上时S△DMN=S△BDN-S△BDM两种情况求出△DMN的面积．
点评：本题综合性较强，主要考查相似三角形的判定和相似三角形的性质，要注意分情况讨论．
∴∠DBO=∠BOC，∠BDN=∠DEO，
∵线段DE由CB出发沿BA方向匀速运动，
∴DE∥BC，
∴∠DEO=∠OCB，
∴∠BDN=∠OCB，
∴△BDN∽△OCB；
（2）直角梯形中OABC中，∠BAO=90°，MH⊥AB，
∴∠BHM=∠BAO=90°，OB=
=10，∴MH∥AO，
∴△BHM∽△BAO，
∴
，∴
，∴MH=6-
t；（3）①若△BDM∽△BAO，
∴
，∴
，∴t=
，②若△BDM∽△BOA，
∴
，∴
，∴t=
；综上所述，当
或时，△BDM与△BOA相似；（4）过点B作BG⊥OC于G，
∴BG=AO=6，
∴
，∵△BDN∽△OCB，
∴
，∴
，∴
，①当点M在ON上即0＜t＜5时，
y=S△DMN=S△BDM-S△BDN，
=
，=
，②当点M在BN上即5＜t＜8时，
y=S△DMN=S△BDN-S△BDM，
=
t2-×t×（6-t），=
t2-3t．分析：（1）根据平行线证明∠DBO=∠BOC，∠BDN=∠DEO=∠OCB，根据两组角对应相等两三角形相似即可证明△BDN∽△OCB；
（2）利用勾股定理求出OB的长为10，再表示出BM长为10-t，然后利用相似三角形对应边成比例得
，代入求解即可；（3）因为两三角形的对应边不明确，所以分BD与BA是对应边和BD与BO是对应边两种情况，根据相似三角形对应边成比例列式求解即可；
（4）先求出△OBC的面积为30，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出△BDN的面积，然后分点M在ON上时S△DMN=S△BDM-S△BDN和点M在BN上时S△DMN=S△BDN-S△BDM两种情况求出△DMN的面积．
点评：本题综合性较强，主要考查相似三角形的判定和相似三角形的性质，要注意分情况讨论．
练习册系列答案
教材全解字词句篇系列答案
相关题目
动时间为t（单位：秒）．
（10，0）、C（0，8），CB=4，D为OA中点，动点P自A点出发沿A→B→C→O的线路移动，速度为1个单位/秒，移动时间为t秒．
单位，移动时间记为t秒．
如图，在直角梯形OABC中，AB∥OC，BC⊥x轴于点C，A（1，2），C（3，0）．动点P从O点出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度移动．过P点作PQ⊥直线OA，垂足为Q．设P点移动的时间为t秒（0＜t≤7），△OPQ与直角梯形OABC重叠部分的面积为S．