Question

直径为2的圆中，长为1和

2

两条弦AB和AC所夹的角等于（　　）

• A、15°
• B、30°
• C、30°或135°
• D、15°或105°

Answer 1

考点：垂径定理,特殊角的三角函数值

专题：分类讨论

分析：连结OA、OB、OC，由AB=1，OA=OB=1可判断△OAB为等边三角形，则∠OAB=60°；由于AC=

2

，OA=OC=1，则OA²+OC²=AC²，根据勾股定理的逆定理得到△OAC为等腰直角三角形，所以∠OAC=45°，然后分类讨论：当AB与AC在OA的同侧，∠BAC=∠OAB+∠OAC；当AB与AC在OA的异侧，∠BAC=∠OAB-∠OAC．

解答：解：连结OA、OB、OC，如图，
∵AB=1，OA=OB=1，
∴△OAB为等边三角形，
∴∠OAB=60°，
∵AC=

2

，OA=OC=1，
∴OA²+OC²=AC²，
∴△OAC为等腰直角三角形，
∴∠OAC=45°，
当AB与AC在OA的同侧，如图1，∠BAC=∠OAB+∠OAC=60°+45°=105°；
当AB与AC在OA的异侧，如图2，∠BAC=∠OAB-∠OAC=60°-45°=15°；
∴两条弦AB和AC所夹的角为105°或15°．
故选D．

点评：本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了等边三角形、等腰直角三角形的判定与性质以及分类讨论思想的运用．