Question

已知等边△OAB的边长为a，以AB边上的高OA₁为边，按逆时针方向作等边△OA₁B₁，A₁B₁与OB相交于点A₂．
（1）求线段OA₂的长；
（2）若再以OA₂为边按逆时针方向作等边△OA₂B₂，A₂B₂与OB₁相交于点A₃，按此作法进行下去，得到△OA₃B₃，△OA₄B₄，…，△OA_nB_n（如图）．求△OA₆B₆的周长；
（3）直接写出△OA_nB_n的周长．

Answer 1

分析：（1）在等边三角形中，由勾股定理可求得其一边上的高与边长的关系，
（2）根据其一边上的高与边长的关系得出OA₆的长，即可得出三角形的周长，
（3）根据前面得出的结果找出图形的变化规律即可求解．

解答：解：（1）OA2=

3

2

OA1=

3

2

×(

3

2

OA)，=

3

4

OA=

3

4

a；
（2）依题意，得OA1=

3

2

OA，
OA2=

3

2

OA1=(

3

2

)2OA，
OA3=

3

2

OA2=(

3

2

)3OA，
以此类推，OA6=(

3

2

)6OA=

27

64

OA=

27

64

a，l△OA6B6=3OA6=

81

64

a，即OA₆B₆的周长为

81

64

a，
（3）根据上面结果可知：OA_n=(

3

2

)na，
故△OA_nB_n的周长=3(

3

2

)na．

点评：本题主要考查了等边三角形的性质，是找规律题，找到第n个等边三角形的边长与前一个等边三角形的边长的关系是解题的关键，难度较大．