Question

已知等边△OAB的边长为a，以AB边上的高OA₁为边，按逆时针方向作等边△OA₁B₁，A₁B₁与OB相交于点A₂．
（1）求线段OA₂的长；
（2）若再以OA₂为边，按逆时针方向作等边△OA₂B₂，A₂B₂与OB₁相交于点A₃，按此作法进行下去，得到△OA₃B₃，△OA₄B₄，…△OA_nB_n（如图）．求△OA₆B₆的周长．

Answer 1

分析：在等边三角形中，由勾股定理可求得其一边上的高与边长的关系，根据图形的变化规律即可求解．

解答：解：（1）OA₂=

3

2

OA₁=

3

2

×（

3

2

OA）（2分）
=

3

4

OA=

3

4

a（4分）

（2）依题意，OA₁=

3

2

OA、OA₂=

3

2

OA₁=（

3

2

）²OA
OA₃=

3

2

OA₂=（

3

2

）³OA（6分）
以此类推，OA₆=（

3

2

）⁶OA=

27

64

OA=

27

64

a（8分）
即△OA₆B₆的周长=3OA₆=

81

64

a．（9分）

点评：本题是找规律题，找到第n个等边三角形的边长与前一个等边三角形的边长的关系是解题的关键．