Question

已知：如图，把矩形OCBA放置于直角坐标系中，OC=3，BC=2，取AB的中点M，连结MC，把△MBC沿x轴的负方向平移OC的长度后得到△DAO．
（1）直接写出点D的坐标；
（2）已知点B与点D在经过原点的抛物线上，点P在第一象限内的该抛物线上移动，过点P作PQ⊥x轴于点Q，连结OP．若以O、P、Q为顶点的三角形与△DAO相似，试求出点P的坐标．

Answer 1

解：（1）∵四边形OCBA是矩形，
∴AB=OC=3，OA=BC=2，∠B=90°．
∵M是AB的中点，
∴AM=MB=AB=．
∵把△MBC沿x轴的负方向平移OC的长度后得到△DAO，
∴DA=MB=，∠DAO=∠B=90°，
∴点D的坐标为（-，2）；

（2）∵OC=3，BC=2，∴B（3，2）．
∵抛物线经过原点，
∴设抛物线的解析式为y=ax²+bx（a≠0），
又抛物线经过点B（3，2）与点D（-，2），
∴，解得：，
∴抛物线的解析式为y=x²-x．
∵点P在抛物线上，
∴设点P的坐标为（x，x²-x）．
分两种情况：
（i）若△PQO∽△DAO，则=，
即=，解得：x₁=0（舍去），x₂=，
∴点P的坐标为（，）；
（ii）若△OQP∽△DAO，则=，
即=，解得：x₁=0（舍去），x₂=，
∴点P的坐标为（，6）．
分析：（1）由矩形的性质，平移的性质以及中点的定义可得DA=MB=AB=，OA=BC=2，∠DAO=∠B=90°，进而求出点D的坐标；
（2）先由抛物线经过原点，可设抛物线的解析式为y=ax²+bx（a≠0），再将B（3，2）与点D（-，2）代入，运用待定系数法求出抛物线的解析式为y=x²-x，则点P的坐标可设为（x，x²-x）．因为∠OQP=∠OAD=90°，所以当以O、P、Q为顶点的三角形与△DAO相似时，Q与A一定对应，然后分两种情况进行讨论：（i）△PQO∽△DAO；（ii）△OQP∽△DAO．根据相似三角形对应边成比例列出比例式，求解即可．
点评：本题考查了二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求抛物线的解析式，矩形、平移的性质，相似三角形的判定与性质，综合性较强，难度适中．运用数形结合及分类讨论是解题的关键．