Question

已知：如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，OD⊥BC于点F，交⊙O于点D，连接AD、CD，∠E=∠ADC．
（1）求证：BE是⊙O的切线；
（2）若BC=6，tanA=，求⊙O的半径．

Answer 1

（1）证明：∵OD⊥BC
∴∠E+∠FBE=90°，
∵∠ADC=∠ABC，∠ADC=∠E，
∴∠ABC=∠E，
∴∠ABC+∠FBE=90°，
∴BE与⊙O相切；

（2）解：连接BD，
∵半径OD⊥BC，
∴弧BD=弧CD，
∴∠BCD=∠CBD，
∵∠A=∠BCD，
∴∠CBD=∠A，
∴tanA=tan∠CBD=，
∵FC=BF=3，
∴DF=2，
在Rt△CFD中：设半径OB=x，OF=x-2，
∴x²=3²+（x-2）²，
解得：x=，
∴⊙O的半径为．
分析：（1）要证明BE是⊙O的切线，即可转化为证明∠ABE=90°即可；
（2）连接BD，有垂径定理和圆周角定理可求出DF的长，设OB=x，则OF=x-DF，再利用勾股定理即可求出x的值，即⊙O的半径．
点评：本题考查了切线的判定定理、圆周角定理、垂径定理、勾股定理以及三角函数的综合应用，题目综合性很强，难度一般．